Solution pour le challenge n° 86

Solution pour le challenge 86

Avant toutes choses, révisons nos fondamentaux. Etant donné $x\in\mathbb{R},$ si l’on pose pour tout $n\in\mathbb{N}$ :

$r_{n}=10^{-n}\left\lfloor 10^{n}x\right\rfloor$

alors la suite $\left(r_{n}\right)_{n\geqslant0}$ converge vers $x$ en croissant. En effet :

Pour tout $n\in\mathbb{N}$ :
$10^{n}x-1<\left\lfloor 10^{n}x\right\rfloor \leqslant10^{n}x$
donc :
$x-10^{-n}<r_{n}\leqslant x$
Ceci prouve, d’après le théorème d’encadrement, que $\lim_{n\rightarrow\infty}r_{n}=x.$

D’après l’inégalité :
$\left\lfloor 10^{n}x\right\rfloor \leqslant10^{n}x$
on a aussi :
$10\left\lfloor 10^{n}x\right\rfloor \leqslant10^{n+1}x$
donc :
$10\left\lfloor 10^{n}x\right\rfloor \leqslant\left\lfloor 10^{n+1}x\right\rfloor$
et donc, après multiplication par $10^{-n-1}$ :
$r_{n}\leqslant r_{n+1}$
La suite $\left(r_{n}\right)_{n\geqslant0}$ est donc bien croissante.

Maintenant considérons la suite de terme général :

$s_{n}=\dfrac{\left\lfloor nx\right\rfloor }{n}\qquad\left(n\geqslant1\right)$

et examinons-la dans le cas particulier : $x=\dfrac{3}{2}.$ Posons, pour tout $n\geqslant1$ :

$\rho_{n}=\dfrac{s_{n+1}}{s_{n}}=\dfrac{n}{n+1}\thinspace\dfrac{\left\lfloor \dfrac{3n+3}{3}\right\rfloor }{\left\lfloor \dfrac{3n}{2}\right\rfloor }$

Pour tout $p\in\mathbb{N}^{\star}$ :

$\rho_{2p}=\dfrac{2p}{2p+1}\thinspace\dfrac{3p+1}{3p}=\dfrac{6p+2}{6p+3}<1$

et :

$\rho_{2p+1}=\dfrac{2p+1}{2p+2}\thinspace\dfrac{3p+3}{3p+1}=\dfrac{6p+3}{6p+2}>1$

Ainsi $\rho_{n}<1$ lorsque $n$ est pair et $\rho_{n}>1$ lorsque $n$ est impair. Autrement dit la suite $\left(\rho_{n}\right)_{n\geqslant1}$ oscille autour de $1.$ En particulier, la suite $\left(s_{n}\right)_{n\geqslant1}$ n’est pas monotone.

Moralité : étant donné $x\in\mathbb{R},$ la suite $\left(\dfrac{\left\lfloor nx\right\rfloor }{n}\right)_{n\geqslant1}$ converge vers $x$ mais elle n’est pas croissante en général. Cela dit, son sens de variation n’est pas arbitraire puisque, pour tout $p\in\mathbb{N}-\left\{0,1\right\},$ la suite extraite $\left(\dfrac{\left\lfloor p^{n}x\right\rfloor }{p^{n}}\right)_{n\geqslant0}$ est croissante !

Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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