Solution pour le challenge 83
Solution 1 (proposée par Johann Fraleux)
Montrons d’abord que pour tous ,
sont en progression géométrique.
Le cas est évident et pour
, si l’on pose
alors
et
d’où le résultat.
Montrons ensuite que pour tous tels que
les nombres
et
sont en progression géométrique.
Si l’un des 3 nombres est nul, par exemple on a immédiatement :
ce qui implique
ou
Si
alors pour tout
les nombres
et
sont en progression géométrique. Et de même si
Supposons maintenant et
tous non nuls et posons pour tout
:
![Rendered by QuickLaTeX.com \dfrac{b^{2}}{c}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-83377ee299c8610f7688981ec12975f2_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \dfrac{c^{2}}{b}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-440f2c7c1c14980de46a052671d8a765_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com P.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-74cd145c526c05414611ac0b1abbbf0b_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \dfrac{c^{2}}{b}.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-af72e15a8f26fa39c267b9344db286c4_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com P](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6679074dadeda754275442cb734b0c3e_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com 4,](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9857095b18b97fd433ed538060619088_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com Q](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-890dcfffde33befcde9caececf0a154c_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com 2.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7c7ca761b9e7e17ba69eba309e06a68c_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com Q(x)=-bc\left(x^{2}-bc\right).](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b14fb29f06a16017a1d807aad3ec107f_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com P\left(a\right)=0,](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-829a1070eea49118af14d53e8c6376e6_l3.png)
- si
alors
sont en progression géométrique.
- si
idem.
- Enfin, si
alors
(puisque
ce qui prouve encore que
sont en progression géométrique.
Solution 2
En développant chaque membre de l’égalité, on obtient d’une part :
Pour consulter l’énoncé, c’est ici