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Solution pour le challenge 83

Solution 1 (proposée par Johann Fraleux)

Montrons d’abord que pour tous X,Y,Z\in\mathbb{R}, Y^{2}=XZ\Rightarrow X,Y,Z sont en progression géométrique.

Le cas X=0 est évident et pour X\neq0, si l’on pose Y/X=q alors Y=qX et Z=Y^{2}/X=q^{2}X, d’où le résultat.

Montrons ensuite que pour tous a,b,c\in\mathbb{R} tels que (ab+bc+ca)^{3}=abc(a+b+c)^{3}, les nombres a,b et c sont en progression géométrique.

Si l’un des 3 nombres est nul, par exemple a=0, on a immédiatement : \left(bc\right)^{3}=0, ce qui implique b=0 ou c=0. Si b=0, alors pour tout c, les nombres c,0 et 0 sont en progression géométrique. Et de même si c=0.
Supposons maintenant a,b et c tous non nuls et posons pour tout x\in\mathbb{R} :

    \[P(x)=((b+c)x+bc)^{3}-bcx(x+b+c)^{3}\]

Les nombres \dfrac{b^{2}}{c} et \dfrac{c^{2}}{b} sont racines de P. En effet :

    \begin{eqnarray*}P\left(\dfrac{b^{2}}{c}\right) & = & \left(\left(b+c\right)\dfrac{b^{2}}{c}+bc\right)^{3}-b^{3}\left(\dfrac{b^{2}}{c}+b+c\right)^{3}\\& = & \left(\dfrac{b}{c}\right)^{3}\left[\left(b^{2}+bc+c^{2}\right)^{3}-\left(b^{2}+bc+c^{2}\right)^{3}\right]\\& = & 0\end{eqnarray*}

et de même pour \dfrac{c^{2}}{b}. Comme le polynôme P est de degré 4, on peut le factoriser ainsi :

    \[P(x)=\left(x-\dfrac{b^{2}}{c}\right)\left(x-\dfrac{c^{2}}{b}\right)Q\left(x\right)\]

avec Q un polynôme de degré 2. En identifiant les coefficients, on trouve Q(x)=-bc\left(x^{2}-bc\right). Vu que P\left(a\right)=0, trois cas se présentent :

  • si a=\dfrac{b^{2}}{c} alors a,b,c sont en progression géométrique.
  • si a=\dfrac{c^{2}}{b}, idem.
  • Enfin, si Q\left(a\right)=0 alors a^{2}=bc (puisque bc\neq0), ce qui prouve encore que a,b,c sont en progression géométrique.

Solution 2

En développant chaque membre de l’égalité, on obtient d’une part :

    \begin{eqnarray*}\left(ab+bc+ca\right)^{3} & = & a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}+c^{3}a^{3}\\& & \thinspace+3ab^{2}c^{3}+3ab^{3}c^{2}+3a^{2}bc^{3}+3a^{2}b^{3}c+3a^{3}bc^{2}+3a^{3}b^{2}c\\& & \thinspace+6a^{2}b^{2}c^{2}\end{eqnarray*}

et d’autre part :

    \begin{eqnarray*}\left(a+b+c\right)^{3} & = & a^{3}+b^{3}+c^{3}\\& & \thinspace+3ab^{2}+3a^{2}b+3bc^{2}+3b^{2}c+3ac^{2}+3a^{2}c\\& & \thinspace+6abc\end{eqnarray*}

L’hypothèse prend ainsi la forme suivante :

    \[a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}+c^{3}a^{3}-a^{4}bc-ab^{4}c-abc^{4}=0\]

On reconnaît (!) une identité remarquable :

    \[\left(ab-c^{2}\right)\left(bc-a^{2}\right)\left(ca-b^{2}\right)=0\]

ce qui permet de conclure.

Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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