Solution pour le challenge n° 82

Solution pour le challenge 82

Si l’on prouve que :

$\forall n\geqslant4,\:a_{n-1}<b_{n}<a_{n}$

il en résultera que les suites $\left(a_{n}\right)_{n\geqslant3}$ et $\left(b_{n}\right)_{n\geqslant4}$ n’ont aucun terme en commun.

C’est vrai pour $n=4$ et pour $n=5,$ puisque $\left(a_{3},a_{4},a_{5}\right)=\left(3,5,8\right)$ et $\left(b_{4},b_{5}\right)=\left(4,7\right).$ Si l’on suppose, pour un certain $n\geqslant4,$ que $a_{n-1}<b_{n}<a_{n}<b_{n+1}<a_{n+1};$ alors :

$a_{n+1}=a_{n}+a_{n-1}<b_{n+1}+b_{n}=b_{n+2}$

et :

$b_{n+2}=b_{n}+b_{n+1}<a_{n}+a_{n+1}=a_{n+2}$

Ainsi $a_{n+1}<b_{n+2}<a_{n+2}.$ En conclusion, les seuls termes communs aux deux suites sont 1, 2 et 3.

Pour le sport, on peut calculer les 12 premiers termes de chaque suite. Pour la suite $\left(a_{n}\right)_{n\geqslant1}$ :

$1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,\cdots$

et pour la suite $\left(b{n}\right)_{n\geqslant1}$ :

$2,1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,199,\cdots$

Signalons pour finir que ces deux suites sont célèbres : elles sont connues sous les noms de suite de Fibonacci (tronquée, car la suite de Fibonacci « officielle » commence par 0,1) et de suite de Lucas. Pour en savoir plus, on pourra consulter cette page Wikipedia.

Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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