Solution pour le challenge n° 77

Solution pour le challenge 77

On démarre avec la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle $\frac{P'}{p}$ :

$\frac{P'\left(t\right)}{P\left(t\right)}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{t-a_{i}}$

d’où l’on tire :

$\frac{P'\left(t\right)}{P\left(t\right)}-\frac{1}{t-a_{j}}=\sum_{{1\leqslant i\leqslant n\atop i\neq j}}\frac{1}{t-a_{i}}$

égalités valables pour tout $t\in\mathbb{R}-\left\{a_{1},\cdots,a_{n}\right\}.$

On observe que $S_{j}$ n’est autre que la valeur en $a_{j}$ du membre de droite.

C’est aussi la limite en $a_{j}$ de la fonction définies par le membre de gauche. Posons donc, pour tout $t\neq0$ assez petit en valeur absolue :

$f\left(t\right)=\frac{P'\left(a_{j}+t\right)}{P\left(a_{j}+t\right)}-\frac{1}{t}$

et calculons $\lim_{t\rightarrow0}f\left(t\right)$ au moyen de développements limités. On peut écrire :

$f\left(t\right)=\frac{N\left(t\right)}{D\left(t\right)}$

avec, au voisinage de $0$ :

$\begin{eqnarray*}N\left(t\right) & = & t\thinspace P'\left(a_{j}+t\right)-P\left(a_{j}+t\right)\\& = & t\left(P'\left(a_{j}\right)+t\thinspace P''\left(a_{j}\right)+o\left(t\right)\right)-\left[\underbrace{P\left(a_{j}\right)}_{=0}+t\thinspace P'\left(a{j}\right)+\frac{t^{2}}{2}\thinspace P''\left(a_{j}\right)+o\left(t^{2}\right)\right]\\& = & \frac{t^{2}}{2}P''\left(a_{j}\right)+o\left(t^{2}\right)\end{eqnarray*}$

et :

$N\left(t\right)=t\thinspace P\left(a_{j}+t\right)=t^{2}\thinspace P'\left(a_{j}\right)+o\left(t^{2}\right)$

Ainsi :

$\fcolorbox{black}{myBlue}{$\displaystyle{S_{j}=\frac{P''\left(a_{j}\right)}{2\thinspace P'\left(a_{j}\right)}}$}$

Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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