Solution pour le challenge 76
Comme alors de deux choses l’une :
- ou bien
- ou bien deux des trois nombres
sont
et le troisième est
On va prouver par l’absurde que cette seconde option est exclue.
Vue la symétrie du problème, on peut supposer par exemple :
![Rendered by QuickLaTeX.com c>-a-b](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2a8d8863409a16fefdfb9af099586ff9_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com -a-b>0)](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fb167c34906aeab2270abc598809b471_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com ab>-c\left(a+b\right)](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c87fb4cf76077a288c973944b829f53f_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com ab>\left(a+b\right)^{2},](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2ceed79b6233902f0816e854c68ae724_l3.png)
Variante
Ce qui suit a été proposé par Lucas Fauvel, étudiant en MPSI. On commence comme ci-dessus, en supposant . Alors :
![Rendered by QuickLaTeX.com -b>0](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c80073b141710e12a79e280f31830431_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com ca<0](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e92fbe68eccb4b0480624c8b2f8c3a89_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com ab+bc+ca<0](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-61887bb45bb67d0b11e8549c801099bf_l3.png)
A présent, on généralise …
Soit un entier supérieur ou égal à 2 et soient
Pour tout , on note :
![Rendered by QuickLaTeX.com e_{k}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-eb190303c93a595c13bacb33441bd625_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com a_{1},\cdots,a_{n}.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3193cac083427f83cd00d641821eea90_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com e_{0}=1)](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9fd429671a1e2557901edd3d63efc4c5_l3.png)
Supposons que et montrons par l’absurde que
S’il existait tel que
on aurait :
Une variante de cette solution nous a été communiquée par Emilien Paganelli :
On observe que, pour tout :
![Rendered by QuickLaTeX.com P](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6679074dadeda754275442cb734b0c3e_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \left[0,+\infty\right[](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9ad4ca5cdabd05314823703f5a2d6f5b_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com P\left(0\right)=e_{n}>0.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fedcf72936020f717f2c54d1c8dfcd83_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com P](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6679074dadeda754275442cb734b0c3e_l3.png)
Pour consulter l’énoncé, c’est ici