Solution pour le challenge 71
On calcule, pour tout entier
:
![Rendered by QuickLaTeX.com \begin{eqnarray*}S_{n}-S_{n+1} & = & \frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{\sqrt{k}}\\& = & \left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}\right)-\frac{1}{n+1}\end{eqnarray*}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-791c7ed6dc71bb764f5ac53d8c312208_l3.png)
Comme
![Rendered by QuickLaTeX.com \frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}>0,](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e0548005b48a6bb519ba179d0261ff0d_l3.png)
alors
![Rendered by QuickLaTeX.com S_{n}-S_{n+1}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0f66a35d11884352103644d0501811d4_l3.png)
est du même signe que :
![Rendered by QuickLaTeX.com \begin{eqnarray*}T_{n} & = & \frac{\sqrt{n\left(n+1\right)}}{\left(n+1\right)\left(\sqrt{n}-\sqrt{n+1}\right)}+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}\\& = & \left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}\right)-\sqrt{n}-\frac{n}{\sqrt{n+1}}\end{eqnarray*}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-59b8903ca98dbdc8bf1ded0267413605_l3.png)
On calcule ensuite :
![Rendered by QuickLaTeX.com \begin{eqnarray*}T_{n}-T_{n+1} & = & \sqrt{n+1}+\frac{n+1}{\sqrt{n+2}}-\sqrt{n}-\frac{n}{\sqrt{n+1}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\\& = & \frac{n+1}{\sqrt{n+2}}-\sqrt{n}\end{eqnarray*}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-116f4fc4d8f82a56186684c2d2bd6ec6_l3.png)
expression du même signe que :
![Rendered by QuickLaTeX.com \[n+1-\sqrt{n\left(n+2\right)}\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-14887d0e4f2f4a703acc478ba8b484e7_l3.png)
Or, cette dernière quantité est positive, d’après l’inégalité
![Rendered by QuickLaTeX.com \sqrt{ab}\leqslant\frac{a+b}{2}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-abd32d2b385bc57360a8faea777f0334_l3.png)
pour
![Rendered by QuickLaTeX.com a,b\geqslant0.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4febf9a8697989d0e6d134665907da46_l3.png)
La suite
![Rendered by QuickLaTeX.com T](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-221b8e6ca81c824c790945ace7a0bbaa_l3.png)
est donc décroissante.
Et comme
alors
pour tout
Finalement, la suite
est croissante.
Remarque
Il est facile de voir que :
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\fcolorbox{black}{myBlue}{$\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}\sim2\sqrt{n}}$}\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cbdc0a65faf2d3c2508fde27f6afeb87_l3.png)
Il en résulte que
![Rendered by QuickLaTeX.com S](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7b7c84da040bd16a50f5ba371b2c348f_l3.png)
converge vers
![Rendered by QuickLaTeX.com 2.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7c7ca761b9e7e17ba69eba309e06a68c_l3.png)
Attention : le fait que la suite de terme général
![Rendered by QuickLaTeX.com 2\sqrt{n}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e83891240820f9e3e00ae8651a55df20_l3.png)
soit croissante ne permet d’affirmer a priori que la suite
![Rendered by QuickLaTeX.com S](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7b7c84da040bd16a50f5ba371b2c348f_l3.png)
est aussi croissante, car l’équivalence ne préserve
pas la monotonie !
Pour consulter l’énoncé, c’est ici