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Solution pour le challenge 71


On calcule, pour tout entier n\geqslant1 :

    \begin{eqnarray*}S_{n}-S_{n+1} & = & \frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{\sqrt{k}}\\& = & \left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}\right)-\frac{1}{n+1}\end{eqnarray*}

Comme \frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}>0, alors S_{n}-S_{n+1} est du même signe que :

    \begin{eqnarray*}T_{n} & = & \frac{\sqrt{n\left(n+1\right)}}{\left(n+1\right)\left(\sqrt{n}-\sqrt{n+1}\right)}+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}\\& = & \left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}\right)-\sqrt{n}-\frac{n}{\sqrt{n+1}}\end{eqnarray*}

On calcule ensuite :

    \begin{eqnarray*}T_{n}-T_{n+1} & = & \sqrt{n+1}+\frac{n+1}{\sqrt{n+2}}-\sqrt{n}-\frac{n}{\sqrt{n+1}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\\& = & \frac{n+1}{\sqrt{n+2}}-\sqrt{n}\end{eqnarray*}

expression du même signe que :

    \[n+1-\sqrt{n\left(n+2\right)}\]

Or, cette dernière quantité est positive, d’après l’inégalité \sqrt{ab}\leqslant\frac{a+b}{2}
pour a,b\geqslant0. La suite T est donc décroissante.

Et comme T_{1}=-\frac{1}{\sqrt{2}}<0, alors T_{n}<0 pour tout n\in\mathbb{N}^{\star}. Finalement, la suite S est croissante.

Remarque

Il est facile de voir que :

    \[\fcolorbox{black}{myBlue}{$\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}\sim2\sqrt{n}}$}\]

Il en résulte que S converge vers 2. Attention : le fait que la suite de terme général 2\sqrt{n} soit croissante ne permet d’affirmer a priori que la suite S est aussi croissante, car l’équivalence ne préserve pas la monotonie !


Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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