Solution pour le challenge 71
On calcule, pour tout entier
:

Comme

alors

est du même signe que :

On calcule ensuite :

expression du même signe que :
![Rendered by QuickLaTeX.com \[n+1-\sqrt{n\left(n+2\right)}\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-14887d0e4f2f4a703acc478ba8b484e7_l3.png)
Or, cette dernière quantité est positive, d’après l’inégalité

pour

La suite

est donc décroissante.
Et comme
alors
pour tout
Finalement, la suite
est croissante.
Remarque
Il est facile de voir que :
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\fcolorbox{black}{myBlue}{$\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}\sim2\sqrt{n}}$}\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cbdc0a65faf2d3c2508fde27f6afeb87_l3.png)
Il en résulte que

converge vers

Attention : le fait que la suite de terme général

soit croissante ne permet d’affirmer a priori que la suite

est aussi croissante, car l’équivalence ne préserve
pas la monotonie !
Pour consulter l’énoncé, c’est ici