Solution pour le challenge n° 71

Solution pour le challenge 71

On calcule, pour tout entier $n\geqslant1$ :

$\begin{eqnarray*}S_{n}-S_{n+1} & = & \frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{\sqrt{k}}\\& = & \left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}\right)-\frac{1}{n+1}\end{eqnarray*}$

Comme $\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}>0,$ alors $S_{n}-S_{n+1}$ est du même signe que :

$\begin{eqnarray*}T_{n} & = & \frac{\sqrt{n\left(n+1\right)}}{\left(n+1\right)\left(\sqrt{n}-\sqrt{n+1}\right)}+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}\\& = & \left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}\right)-\sqrt{n}-\frac{n}{\sqrt{n+1}}\end{eqnarray*}$

On calcule ensuite :

$\begin{eqnarray*}T_{n}-T_{n+1} & = & \sqrt{n+1}+\frac{n+1}{\sqrt{n+2}}-\sqrt{n}-\frac{n}{\sqrt{n+1}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\\& = & \frac{n+1}{\sqrt{n+2}}-\sqrt{n}\end{eqnarray*}$

expression du même signe que :

$n+1-\sqrt{n\left(n+2\right)}$

Or, cette dernière quantité est positive, d’après l’inégalité $\sqrt{ab}\leqslant\frac{a+b}{2}$
pour $a,b\geqslant0.$ La suite $T$ est donc décroissante.

Et comme $T_{1}=-\frac{1}{\sqrt{2}}<0,$ alors $T_{n}<0$ pour tout $n\in\mathbb{N}^{\star}.$ Finalement, la suite $S$ est croissante.

Remarque

Il est facile de voir que :

$\fcolorbox{black}{myBlue}{$\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}\sim2\sqrt{n}}$}$

Il en résulte que $S$ converge vers $2.$ Attention : le fait que la suite de terme général $2\sqrt{n}$ soit croissante ne permet d’affirmer a priori que la suite $S$ est aussi croissante, car l’équivalence ne préserve pas la monotonie !

Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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