Solution pour le challenge n° 69

Solution pour le challenge 69

Montrons que :

( $\star$ ) $\lim_{n\rightarrow\infty}\sigma\left(n\right)=+\infty$

c’est-à-dire que :

$\forall A\in\mathbb{N}^{\star},\thinspace\exists N\in\mathbb{N},\thinspace\forall n\geqslant N,\thinspace\sigma\left(n\right)\geqslant A$

Supposons le contraire :

$\exists A\in\mathbb{N}^{\star},\thinspace\forall N\in\mathbb{N},\thinspace\exists n\geqslant N,\thinspace\sigma\left(n\right)<A$

En appliquant plusieurs fois de suite cette dernière propriété, on construit des entiers naturels $n_{0}<n_{1}<\cdots<n_{A}$ tels que :

$\forall k\in\left\llbracket 0,A\right\rrbracket ,\thinspace\sigma\left(n_{k}\right)\in\left\llbracket 0,A-1\right\rrbracket$

Comme les entiers $n_{k}$ (pour $0\leqslant k\leqslant A)$ sont tous distincts et vu que $\sigma$ est injective, les entiers $\sigma\left(n_{k}\right)$ (pour $0\leqslant k\leqslant A)$ sont tous distincts eux-aussi. Mais ceci est absurde, car un ensemble de cardinal $A$ ne peut pas contenir une partie de cardinal $A+1.$

La propriété $\left(\star\right)$ est ainsi établie. Il en résulte que :

$\lim_{n\rightarrow\infty}u_{\sigma\left(n\right)}=\lim_{n\rightarrow\infty}u_{n}$

Autre rédaction, proposée par Emilien Paganelli :

Soit $L=\lim u$ . Etant donné $\epsilon>0$ , il existe par hypothèse $p\in\mathbb{N}$ tel que :

$\forall n\in\mathbb{N},n>p\Rightarrow\vert u_n-L\vert\leqslant\epsilon$

L’ensemble $\sigma^{-1}\langle\llbracket0,p\rrbracket\rangle$ est fini (de cardinal $p+1$ , puisque $\sigma$ est bijective). Notons $A$ son plus grand élément. Alors, pour tout $n>A$ , on a $\sigma(n)>p$ et donc $\vert u_{\sigma(n)}-L\vert\leqslant\epsilon$ .

Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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