Solution pour le challenge 6
La série proposée converge, par comparaison avec une série géométrique; en effet si l’on pose alors pour tout
:
Afin d’établir l’inégalité demandée, on va « couper la série en deux » et montrer …
- d’une part, que :
- et d’autre part, que :
Il suffira, pour conclure, d’ajouter membre à membre ces deux inégalités.
L’inégalité est évidente : la somme comporte
termes et chacun est majoré (strictement) par
Il reste donc à prouver
On sait (inégalité de Bernoulli) que, si et si
est un entier supérieur ou égal à 2, alors :
En choisissant :
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et donc :
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