Solution pour le challenge 5
Etape 1
Soit
En remplaçant par 0 dans
:
Ceci montre que si alors :
![Rendered by QuickLaTeX.com - \frac{1}{x}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1934950f7ed63326426aff31ab6d9202_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x\neq 0](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d6adc253d4555650d3c54dff263c9860_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com f](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4de78b071f57702a0dfd4345a28e8840_l3.png)
On suppose désormais que
Etape 2
Soient quelconque et
En appliquant
…
➣ au couple , on trouve :
➣ au couple , on trouve :
Il en résulte que :
En particulier, pour :
![Rendered by QuickLaTeX.com f\left(0\right)](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7abfd12a6c54dc567d50fc2b84c2deef_l3.png)
Ceci montre que
Etape 3
Si on obtient en appliquant
pour le couple
:
Donc :
puis, en simplifiant par (dont on rappelle qu’il est non nul…) :
Etape 4
En appliquant au couple
pour
:
![Rendered by QuickLaTeX.com f](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4de78b071f57702a0dfd4345a28e8840_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \frac{1-x^{2}}{2x}=t](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ad67df23eeb3ae52baf8fb3257197dd0_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com t\neq0,](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c4474ddc5a89f181a94c0236638aa290_l3.png)
En confrontant et
on conclut que, pour tout réel non nul
:
Cette égalité vaut encore pour En effet, en appliquant
au couple
on trouve
et comme
(on sait maintenant que
alors
Etape 5 : conclusion
Deux solutions possibles pour l’équation fonctionnelle proposée :
Chacune d’elles convient effectivement.
Pour consulter l’énoncé, c’est ici