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Solution pour le challenge 5


Etape 1

Soit x\neq0.

En remplaçant y par 0 dans \left(\star\right) :

\fcolorbox{black}{myBlue}{\ensuremath{f\left(x\right)f\left(0\right)=\left|x\right|f\left(-\frac{1}{x}\right)}}\,\left(1\right)

Ceci montre que si f\left(0\right)=0, alors :

    \[\forall x\in\mathbb{R}-\left\{ 0\right\} ,\thinspace f\left(-\frac{1}{x}\right)=0\]

Comme tout réel non nul est de la forme - \frac{1}{x} pour un certain x\neq 0, f est la fonction nulle.

On suppose désormais que \boxed{f\left(0\right)\neq0}

Etape 2

Soient x\in\mathbb{R} quelconque et y\neq0. En appliquant \left(\star\right)

➣ au couple \left(x,x-y\right), on trouve :

\displaystyle{f\left(x\right)f\left(x-y\right)=\left|y\right|f\left(\frac{x^{2}-xy+1}{y}\right)}

➣ au couple \left(y-x,-x\right), on trouve :

\displaystyle{f\left(-x\right)f\left(y-x\right)=\left|y\right|f\left(\frac{x^{2}-xy+1}{y}\right)}

Il en résulte que :

\displaystyle{f\left(x\right)f\left(x-y\right)=f\left(-x\right)f\left(y-x\right)}

En particulier, pour x=0 :

    \[f\left(0\right)f\left(-y\right)=f\left(0\right)f\left(y\right)\]

et en simplifiant par f\left(0\right) :

    \[\forall y\neq0,\thinspace f\left(-y\right)=f\left(y\right)\]

Ceci montre que \fcolorbox{black}{myBlue}{f \text{est paire}}

Etape 3

Si x\neq0, on obtient en appliquant \left(\star\right) pour le couple \left(x,-\frac{1}{x}\right) :

\fcolorbox{black}{myBlue}{\ensuremath{f\left(x\right)f\left(-\frac{1}{x}\right)=\left|x+\frac{1}{x}\right|f\left(0\right)}}\,\left(2\right)

Donc :

\begin{array}{ccc}f\left(x\right)^{2}f\left(0\right)&\underset{\left(1\right)}{=}&\left|x\right|f\left(x\right)f\left(-\frac{1}{x}\right)\\&\underset{\left(2\right)}{=}&\left(x^{2}+1\right)f\left(0\right)\end{array}

puis, en simplifiant par f\left(0\right) (dont on rappelle qu’il est non nul…) :

\fcolorbox{black}{myBlue}{\ensuremath{\forall x\in\mathbb{R}^\star,\thinspace\left|f\left(x\right)\right|=\sqrt{x^2+1}}}\,\left(3\right)

Etape 4

En appliquant \left(\star\right) au couple \left(x,-x\right) pour x\neq0 :

    \[ f\left(x\right)f\left(-x\right)=2\left|x\right|f\left(\frac{1-x^{2}}{2x}\right)\]

c’est-à-dire (vu que f est paire) :

    \[ f\left(\frac{1-x^{2}}{2x}\right)=\frac{f\left(x\right)^{2}}{2\left|x\right|}\geqslant0\]

Comme l’équation \frac{1-x^{2}}{2x}=t admet des solutions pour tout t\neq0, on a prouvé que :

\fcolorbox{black}{myBlue}{\ensuremath{\forall t\in\mathbb{R}^\star,\thinspace f\left(t\right)\geqslant0}}\,\left(4\right)

En confrontant \left(3\right) et \left(4\right), on conclut que, pour tout réel non nul x :

    \[\boxed{f\left(x\right)=\sqrt{x^{2}+1}}\]

Cette égalité vaut encore pour x=0. En effet, en appliquant \left(\star\right) au couple \left(1,0\right), on trouve f\left(1\right)f\left(0\right)=f\left(1\right) et comme f\left(1\right)\neq0 (on sait maintenant que f\left(1\right)=\sqrt{2}), alors f\left(0\right)=1.

Etape 5 : conclusion

Deux solutions possibles pour l’équation fonctionnelle proposée :

    \begin{eqnarray*}& \fcolorbox{black}{myBlue}{$x\mapsto0$} &\\& \text{et} &\\& \fcolorbox{black}{myBlue}{$x\mapsto\sqrt{x^{2}+1}$} &\end{eqnarray*}

Chacune d’elles convient effectivement.


Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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