Solution pour le challenge n° 47

Solution pour le challenge 47

Tout d’abord, on rappelle la formule suivante, valable pour tout entier $n\geqslant1$ :

$T_{n}=\frac{n\left(n+1\right)}{2}$

Les $T_{n}$ sont appelés nombres triangulaires en raison d’une simple interprétation géométrique :

Pourquoi « triangulaires » ? Parce que …

Quant à la solution du challenge, elle sera pour une fois ultra-courte… et ultra-astucieuse (je peux écrire cela sans risquer de paraître immodeste : la solution n’est pas de moi).

On observe que, pour tout $k\geqslant2$ :

$T_{k-1}+k=T_{k}$

En particulier, pour tout $n\geqslant2$ :

$\boxed{T_{T_{n}-1}+T_{n}=T_{T_{n}}}$

ce qui donne évidemment une infinité de triplets solutions.

Ce résultat est attribué au mathématicien polonais Waclaw Sierpinski.

A titre d’exemple, en choisissant $n=10,$ on a $T_{10}=55,$ puis $T_{T_{10}-1}=T_{54}=1485$ et $T_{T_{10}}=T_{55}=1540.$ Effectivement : $1485+55=1540.$

Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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