Solution pour le challenge 4
Soient deux entiers naturels qui ne sont pas des carrés parfaits.
Distinguons deux cas.
➣ Cas 1 : si , alors
est irrationnel (on sait que la racine carrée d’un entier naturel qui n’est pas un carré parfait est irrationnelle).
➣ Cas 2 : supposons . Si
est rationnel, alors
est irrationnel car leur somme, qui vaut
, est irrationnelle. Il en résulte que
est irrationnel (produit d’un rationnel non nul par un irrationnel), ce qui est absurde. Ainsi,
est irrationnel.
Cette solution a été proposée par un élève en classe de première.
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