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Solution pour le challenge 4

Solution proposée par Shika, élève en classe de première

Soient p, q \in\mathbb{N} deux entiers naturels qui ne sont pas des carrés parfaits.

Distinguons deux cas.

➣ Cas 1 : si p=q, alors \sqrt p+\sqrt q=2\sqrt p est irrationnel (on sait que la racine carrée d’un entier naturel qui n’est pas un carré parfait est irrationnelle).

➣ Cas 2 : supposons p\neq q. Si \sqrt{p}+\sqrt{q} est rationnel, alors \sqrt{p} - \sqrt{q} est irrationnel car leur somme, qui vaut 2 \sqrt{p}, est irrationnelle. Il en résulte que (\sqrt{p} + \sqrt{q})(\sqrt{p} - \sqrt{q}) = p - q est irrationnel (produit d’un rationnel non nul par un irrationnel), ce qui est absurde. Ainsi, \sqrt{p}+\sqrt{q} est irrationnel.

Autre solution

On utilise le test des racines rationnelles (TRR), présenté dans cet article.

Du TRR, on déduit immédiatement le :

Corollaire

Les éventuelles racines rationnelles d’un polynôme unitaire (c’est-à-dire : de coefficient de plus haut degré égal à 1) et à coefficients entiers sont des entiers.

En particulier, si p\in\mathbb{N} n’est pas un carré parfait, alors \sqrt{p}\notin\mathbb{Q}, comme on le voit en appliquant le TRR au polynôme X^{2}-p.

Venons-en à la question posée…

Soient p,q deux entiers naturels qui ne sont pas des carrés parfaits. Posons :

    \[\alpha=\sqrt{p}+\sqrt{q}\]

On constate que :

    \[\alpha^{2}=p+q+2\sqrt{pq}\]

puis que :

    \[\left(\alpha^{2}-p-q\right)^{2}=4pq\]

c’est-à-dire \alpha^{4}-2\left(p+q\right)\alpha^{2}+\left(p-q\right)^{2}=0.

Autrement dit, \alpha est racine du polynôme P=X^{4}-2\left(p+q\right)X^{2}+\left(p-q\right)^{2}.

Un calcul similaire montre que \beta=\sqrt{p}-\sqrt{q} est aussi racine de P.

Supposons que \alpha\in\mathbb{Q}. Alors (en utilisant l’expression conjuguée) :

    \[\beta=\frac{p-q}{\sqrt{p}+\sqrt{q}}=\frac{p-q}{\alpha}\in\mathbb{Q}\]

et donc 2\sqrt{p}=\alpha+\beta\in\mathbb{Q}. D’après le corollaire du TRR signalé plus haut, on en déduit que 2\sqrt{p}\in\mathbb{N} et, en particulier, que \sqrt{p}\in\mathbb{Q} : contradiction !

En conclusion : \boxed{\alpha\notin\mathbb{Q}}

Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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