Solution pour le challenge 4
Solution proposée par Shika, élève en classe de première
Soient deux entiers naturels qui ne sont pas des carrés parfaits.
Distinguons deux cas.
➣ Cas 1 : si , alors
est irrationnel (on sait que la racine carrée d’un entier naturel qui n’est pas un carré parfait est irrationnelle).
➣ Cas 2 : supposons . Si
est rationnel, alors
est irrationnel car leur somme, qui vaut
, est irrationnelle. Il en résulte que
est irrationnel (produit d’un rationnel non nul par un irrationnel), ce qui est absurde. Ainsi,
est irrationnel.
Autre solution
On utilise le test des racines rationnelles (TRR), présenté dans cet article.
Du TRR, on déduit immédiatement le :
Corollaire
Les éventuelles racines rationnelles d’un polynôme unitaire (c’est-à-dire : de coefficient de plus haut degré égal à 1) et à coefficients entiers sont des entiers.
En particulier, si n’est pas un carré parfait, alors
, comme on le voit en appliquant le TRR au polynôme
Venons-en à la question posée…
Soient deux entiers naturels qui ne sont pas des carrés parfaits. Posons :
On constate que :

Autrement dit, est racine du polynôme
Un calcul similaire montre que est aussi racine de
Supposons que Alors (en utilisant l’expression conjuguée) :



En conclusion :
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