Solution pour le challenge n° 4

Solution pour le challenge 4

Soient $p, q \in\mathbb{N}$ deux entiers naturels qui ne sont pas des carrés parfaits.

Distinguons deux cas.

➣ Cas 1 : si $p=q$ , alors $\sqrt p+\sqrt q=2\sqrt p$ est irrationnel (on sait que la racine carrée d’un entier naturel qui n’est pas un carré parfait est irrationnelle).

➣ Cas 2 : supposons $p\neq q$ . Si $\sqrt{p}+\sqrt{q}$ est rationnel, alors $\sqrt{p} - \sqrt{q}$ est irrationnel car leur somme, qui vaut $2 \sqrt{p}$ , est irrationnelle. Il en résulte que $(\sqrt{p} + \sqrt{q})(\sqrt{p} - \sqrt{q}) = p - q$ est irrationnel (produit d’un rationnel non nul par un irrationnel), ce qui est absurde. Ainsi, $\sqrt{p}+\sqrt{q}$ est irrationnel.

Cette solution a été proposée par un élève en classe de première.

Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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