Solution pour le challenge 34
Il suffit de prouver l’existence d’une injection et d’une injection
puis d’invoquer le théorème de Cantor-Bernstein.
INJECTION 
On sait que l’ensemble des nombres rationnels est dénombrable (voir par exemple ici). Autrement dit, il existe une bijection
Considérons l’application :
Cette application est injective, car si sont continues et telles que
alors
car
est une partie dense de
et deux applications continues qui coïncident sur une telle partie sont égales (pour le détail de cette affirmation, déplier le paragraphe ci-dessous).
Détail
Notons une partie dense de
Rappelons que cette affirmation signifie que tout nombre réel est la limite d’une suite à termes dans
Soient maintenant deux applications continues et telles que :
Etant donné il existe par hypothèse une suite
à termes dans
telle que :
Comme et
sont continues en
, on constate que :
INJECTION 
Etant donnée une quelconque suite u de nombres réels, notons l’application de
dans
définie de la manière suivante :
- pour tout
la restriction de
à tout segment
est affine
L’animation ci-dessous permet de visualiser cette définition. Le graphe de la restriction de à l’intervalle
est dessiné en plusieurs étapes …
Illustration Dynamique
L’application qui à toute suite
fait correspondre
est clairement injective.
En effet si sont deux suites réelles telles que
alors en particulier
pour tout
autrement dit
.
Pour consulter l’énoncé, c’est ici