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On sait que :

    \[\forall n\in\mathbb{N},\,F_{n}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\alpha^{n}-\beta^{n}\right)\]

avec :

    \[\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\qquad\text{et}\qquad\beta=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\]

Donc :

    \begin{eqnarray*}\alpha\,F_{n} & = & \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\alpha^{n+1}-\beta^{n+1}+\beta^{n}\left(\beta-\alpha\right)\right)\\& = & F_{n+1}-\beta^{n}\end{eqnarray*}

On constate ainsi que :

    \[\forall n\geqslant2,\,\left|F_{n+1}-\alpha\,F_{n}\right|<\frac{1}{2}\]

Finalement :

    \[\forall n\geqslant2,\thinspace F_{n+1}=\theta\left(\alpha F_{n}\right)\]

\theta est l’application qui, à tout t\in\mathbb{R}-\left(\frac{1}{2}+\mathbb{Z}\right), associe l’entier le plus proche de t.

Noter que \alpha F_{n}\in\mathbb{R}-\left(\frac{1}{2}+\mathbb{Z}\right), ce qui résulte de l’irrationalité de \alpha F_{n} (qui découle elle-même du fait que \alpha\in\mathbb{R}-\mathbb{Q} et F_{n}\neq0).

Il revient au même d’écrire :

    \[\boxed{\forall n\geqslant2,\thinspace F_{n+1}=\left\lfloor\alpha F_{n}+\frac{1}{2}\right\rfloor}\]


Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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