Solution pour le challenge n° 33

Solution pour le challenge 33

On sait que :

$\boxed{\forall n\in\mathbb{N},\,F_{n}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\alpha^{n}-\beta^{n}\right)}$

avec :

$\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\quad\text{et}\quad\beta=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$

Donc $\displaystyle{\alpha\,F_{n}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\alpha^{n+1}-\beta^{n+1}+\beta^{n}\left(\beta-\alpha\right)\right)}$ c’est-à-dire :

$\alpha\,F_{n}=F_{n+1}-\beta^{n}$

On constate ainsi que :

$\forall n\geqslant2,\,\left|F_{n+1}-\alpha\,F_{n}\right|<\frac{1}{2}$

Finalement :

$\forall n\geqslant2,\thinspace F_{n+1}=\theta\left(\alpha F_{n}\right)$

où $\theta$ est l’application qui, à tout réel $t\neq\frac{1}{2},$ associe l’entier le plus proche de lui.

Noter que $\alpha F_{n}\neq\frac{1}{2},$ ce qui résulte de l’irrationalité de $\alpha F_{n},$ qui découle elle-même du fait que $\alpha\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}$ et $F_{n}\neq0.$

Il revient au même d’écrire :

$\boxed{\forall n\geqslant2,\thinspace F_{n+1}=\left\lfloor\alpha F_{n}+\frac{1}{2}\right\rfloor}$

Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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