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Pour k=1, l’inégalité est évidente (et sans intérêt).

Supposons k\geqslant2 et (quitte à modifier l’indexation) que :

    \[ n_{1}\geqslant n_{2}\geqslant\cdots\geqslant n_{k}\]

Notons (\star) le cas particulier où n_{i}=1 pour tout i\in\left\{2,\cdots,k\right\}. Cette condition impose n_{1}=n-k+1, et l’on constate que :

    \[ \sum_{i=1}^{k}n_{i}^{2}=\left(n-k+1\right)^{2}+k-1\]

Il reste à montrer que la valeur de la somme est moindre dans tous les autres cas.

Faisons donc l’hypothèse :

    \[\exists i\in\left\{2,\cdots,k\right\};\,n_{i}\geqslant2\]

L’idée est de “déplacer une unité” vers le premier terme, en remplaçant :

  • n_{1} par n'_{1}=n_{1}+1
  • n_{i} par n'_{i}=n_{i}-1

et en laissant inchangés les autres termes. La somme des n_{j} n’est pas modifiée : sa valeur est encore n. Quant à la somme des carrés, elle est remplacée par :

    \begin{eqnarray*}\sum_{j=1}^{k}n'_{j}^{2} & = & \left(\sum_{j=1}^{k}n_{j}^{2}\right)+\left(n'_{1}^{2}-n_{1}^{2}\right)+\left(n'_{i}^{2}-n_{i}^{2}\right)\\& = & \left(\sum_{j=1}^{k}n_{j}^{2}\right)+2\left(n_{1}-n_{i}+1\right)\end{eqnarray*}

Or n_{1}\geqslant n_{i} et donc :

    \[ \sum_{j=1}^{k}n_{j}^{2}<\sum_{j=1}^{k}n'_{j}^{2} \]

Ceci prouve que la somme maximale est atteinte lorsque “toutes les unités ont été déplacées vers le premier terme”, autrement dit dans le cas de figure (\star).

Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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