
Pour l’inégalité est évidente (et sans intérêt).
Supposons et (quitte à modifier l’indexation) que :
Il reste à montrer que la valeur de la somme est moindre dans tous les autres cas.
Faisons donc l’hypothèse :
L’idée est de “déplacer une unité” vers le premier terme, en remplaçant :
par
par
et en laissant inchangés les autres termes. La somme des n’est pas modifiée : sa valeur est encore
Quant à la somme des carrés, elle est remplacée par :
Or et donc :
Ceci prouve que la somme maximale est atteinte lorsque “toutes les unités ont été déplacées vers le premier terme”, autrement dit dans le cas de figure
Pour consulter l’énoncé, c’est ici
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