Solution pour le challenge n° 31

Solution pour le challenge 31

Pour $k=1,$ l’inégalité est évidente (et sans intérêt).

Supposons $k\geqslant2$ et (quitte à modifier l’indexation) que :

$n_{1}\geqslant n_{2}\geqslant\cdots\geqslant n_{k}$

Notons $(\star)$ le cas particulier où $n_{i}=1$ pour tout $i\in\llbracket2,k\rrbracket$ . Cette condition impose $n_{1}=n-k+1,$ et l’on constate que :

$\sum_{i=1}^{k}n_{i}^{2}=\left(n-k+1\right)^{2}+k-1$

Il reste à montrer que la valeur de la somme est moindre dans tous les autres cas.

Faisons donc l’hypothèse :

$\exists i\in\llbracket2,k\rrbracket;\,n_{i}\geqslant2$

L’idée est de “déplacer une unité” vers le premier terme, en remplaçant :

$n_{1}$ par $n'_{1}=n_{1}+1$
$n_{i}$ par $n'_{i}=n_{i}-1$

et en laissant inchangés les autres termes. La somme des $n_{j}$ n’est pas modifiée : sa valeur est encore $n.$ Quant à la somme des carrés, elle est remplacée par :
$\displaystyle{\left.\right.\quad\sum_{j=1}^{k}n'_{j}^{2}=\left(n'_{1}^{2}-n_{1}^{2}\right)+\left(n'_{i}^{2}-n_{i}^{2}\right)+\sum_{j=1}^{k}n_{j}^{2}}$
$\displaystyle{=2\left(n_{1}-n_{i}+1\right)+\sum_{j=1}^{k}n_{j}^{2}}$

Or $n_{1}\geqslant n_{i}$ et donc :

$\sum_{j=1}^{k}n_{j}^{2}<\sum_{j=1}^{k}n'_{j}^{2}$

Ceci prouve que la somme maximale est atteinte lorsque “toutes les unités ont été déplacées vers le premier terme”, autrement dit dans le cas de figure $(\star).$

Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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