Solution pour le challenge 31
Pour l’inégalité est évidente (et sans intérêt).
Supposons et (quitte à modifier l’indexation) que :
![Rendered by QuickLaTeX.com (\star)](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cd893208d20baa5812e1ecb543a5a081_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com n_{i}=1](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-abb2b8b0397c08852938be36d65b1599_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com i\in\llbracket2,k\rrbracket](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cb2f18f7bbd03852bdfb36c7884274a3_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com n_{1}=n-k+1,](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a8982103ee2f8e0a87bdba6090a29c5b_l3.png)
Il reste à montrer que la valeur de la somme est moindre dans tous les autres cas.
Faisons donc l’hypothèse :
L’idée est de « déplacer une unité » vers le premier terme, en remplaçant :
par
par
et en laissant inchangés les autres termes. La somme des n’est pas modifiée : sa valeur est encore
Quant à la somme des carrés, elle est remplacée par :
Or et donc :
Ceci prouve que la somme maximale est atteinte lorsque « toutes les unités ont été déplacées vers le premier terme », autrement dit dans le cas de figure
Pour consulter l’énoncé, c’est ici