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Solution pour le challenge 31

Pour k=1, l’inégalité est évidente (et sans intérêt).

Supposons k\geqslant2 et (quitte à modifier l’indexation) que :

    \[ n_{1}\geqslant n_{2}\geqslant\cdots\geqslant n_{k}\]

Notons (\star) le cas particulier où n_{i}=1 pour tout i\in\llbracket2,k\rrbracket. Cette condition impose n_{1}=n-k+1, et l’on constate que :

    \[ \sum_{i=1}^{k}n_{i}^{2}=\left(n-k+1\right)^{2}+k-1\]

Il reste à montrer que la valeur de la somme est moindre dans tous les autres cas.

Faisons donc l’hypothèse :

    \[\exists i\in\llbracket2,k\rrbracket;\,n_{i}\geqslant2\]

L’idée est de « déplacer une unité » vers le premier terme, en remplaçant :

  • n_{1} par n'_{1}=n_{1}+1
  • n_{i} par n'_{i}=n_{i}-1

et en laissant inchangés les autres termes. La somme des n_{j} n’est pas modifiée : sa valeur est encore n. Quant à la somme des carrés, elle est remplacée par :
\displaystyle{\left.\right.\quad\sum_{j=1}^{k}n'_{j}^{2}=\left(n'_{1}^{2}-n_{1}^{2}\right)+\left(n'_{i}^{2}-n_{i}^{2}\right)+\sum_{j=1}^{k}n_{j}^{2}}
\displaystyle{=2\left(n_{1}-n_{i}+1\right)+\sum_{j=1}^{k}n_{j}^{2}}

Or n_{1}\geqslant n_{i} et donc :

    \[ \sum_{j=1}^{k}n_{j}^{2}<\sum_{j=1}^{k}n'_{j}^{2} \]

Ceci prouve que la somme maximale est atteinte lorsque « toutes les unités ont été déplacées vers le premier terme », autrement dit dans le cas de figure (\star).

Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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