Solution pour le challenge n° 30

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On sait que :

    \[ p!\binom{n}{p}=n\left(n-1\right)\cdots\left(n-p+1\right)\qquad\left(\star\right)\]

Soit i l’unique élément de \left\{0,\cdots,p-1\right\} tel que p\mid n-i. On voit que :

    \[ \frac{n-i}{p}\in\mathbb{N}\qquad\text{et}\qquad\frac{n-i}{p}\leqslant\frac{n}{p}<\frac{n-i+p}{p}\]

et donc :

    \[ \frac{n-i}{p}=\left\lfloor \frac{n}{p}\right\rfloor \]

Posons :

    \[ A=\prod_{{0\leqslant j<p\atop j\neq i}}\left(n-j\right)\]

L’égalité \left(\star\right) prend la forme :

    \[ \left(p-1\right)!\thinspace\binom{n}{p}=A\left\lfloor \frac{n}{p}\right\rfloor \]

Or, aucun des deux entiers \left(p-1\right)! et A n’est multiple de p.

Il apparaît donc que :

\displaystyle{\binom{n}{p}} et \displaystyle{\left\lfloor \frac{n}{p}\right\rfloor} ont la même valuation p-adique.

En particulier :

    \[ p\mid\binom{n}{p}\Leftrightarrow p\mid\left\lfloor \frac{n}{p}\right\rfloor \]

Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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