Solution pour le challenge n° 30

On sait que :

$p!\binom{n}{p}=n\left(n-1\right)\cdots\left(n-p+1\right)\qquad\left(\star\right)$

Soit $i$ l’unique élément de $\llbracket0,p-1\rrbracket$ tel que $p\mid n-i.$ On voit que :

$\frac{n-i}{p}\in\mathbb{N}\qquad\text{et}\qquad\frac{n-i}{p}\leqslant\frac{n}{p}<\frac{n-i+p}{p}$

et donc :

$\frac{n-i}{p}=\left\lfloor \frac{n}{p}\right\rfloor$

Posons :

$A=\prod_{{0\leqslant j<p\atop j\neq i}}\left(n-j\right)$

L’égalité $\left(\star\right)$ prend la forme :

$\left(p-1\right)!\thinspace\binom{n}{p}=A\left\lfloor \frac{n}{p}\right\rfloor$

Or, aucun des deux entiers $\left(p-1\right)!$ et $A$ n’est multiple de $p.$

Il apparaît donc que :

$\displaystyle{\binom{n}{p}}$ et $\displaystyle{\left\lfloor \frac{n}{p}\right\rfloor}$ ont la même valuation $p-$ adique.

En particulier :

$p\mid\binom{n}{p}\Leftrightarrow p\mid\left\lfloor \frac{n}{p}\right\rfloor$

Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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