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Solution pour le challenge 30

On sait que :

    \[p!\binom{n}{p}=\prod_{i=0}^{p-1}\left(n-i\right)\quad\left(\star\right)\]

Soit i l’unique élément de \llbracket0,p-1\rrbracket tel que p\mid n-i. On voit que :

    \[ \frac{n-i}{p}\in\mathbb{N}\]

et

    \[\frac{n-i}{p}\leqslant\frac{n}{p}<\frac{n-i+p}{p}\]

et donc :

    \[ \frac{n-i}{p}=\left\lfloor \frac{n}{p}\right\rfloor \]

Posons :

    \[A=\prod_{{0\leqslant j<p\atop j\neq i}}\left(n-j\right)\]

L’égalité \left(\star\right) prend la forme :

    \[\left(p-1\right)!\thinspace\binom{n}{p}=A\left\lfloor \frac{n}{p}\right\rfloor \]

Or, aucun des deux entiers \left(p-1\right)! et A n’est multiple de p.

On a établi la :

Proposition

Si p\in\mathbb{P} et si n>p alors \displaystyle{\binom{n}{p}} et \displaystyle{\left\lfloor \frac{n}{p}\right\rfloor} ont la même valuation p-adique.

En particulier :

    \[p\mid\binom{n}{p}\Leftrightarrow p\mid\left\lfloor \frac{n}{p}\right\rfloor \]

Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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