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Solution pour le challenge 3


Il faut penser à utiliser les nombres complexes ! Posons dans toute la suite :

    \[\omega=\frac{2\pi}{7}\]

    \[z=e^{i\omega}\]

    \[\boxed{A=z+z^{2}+z^{4}}\]

D’après la formule de Moivre :

    \[A=e^{2i\pi/7}+e^{4i\pi/7}+e^{8i\pi/7}\]

Le but du jeu est de calculer la partie imaginaire de A.

Or, l’expression qui définit A est un fragment de la somme géométrique suivante :
1+\boxed{z}+\boxed{z^{2}}+z^{3}+\boxed{z^{4}}+z^{5}+z^{6}

et cette somme vaut :

    \[\frac{1-z^{7}}{1-z}=0\]

car z est une racine septième de l’unité. Il est donc naturel d’introduire :

    \[\boxed{B=z^{3}+z^{5}+z^{6}}\]

L’étape suivante consiste à observer que la somme et le produit de A et B sont aisément calculables. En effet :

    \[A+B=-1\]

et

    \begin{eqnarray*}AB & = & z^{4}+z^{6}+z^{7}\\& & +z^{5}+z^{7}+z^{8}\\& & +z^{7}+z^{9}+z^{10}\\\end{eqnarray*}

c’est-à-dire, compte tenu de l’égalité z^{7}=1 :

    \begin{eqnarray*}AB & = & 3+z+z^{2}+z^{3}\\& &+z^{4}+z^{5}+z^{6}\\& = & 3+A+B\\& = & 2\end{eqnarray*}

Bref, on a prouvé que :

    \[\boxed{\left\{\begin{array}{ccc}A+B & = & -1\\AB & = & 2\end{array}\right.}\]

Il s’ensuit que A et B sont les racines du trinôme P=X^{2}+X+2. Le discriminant de P est \Delta=-7 et ses racines complexes sont donc :

    \[\frac{-1\pm i\sqrt{7}}{2}\]

Il reste à déterminer laquelle des deux correspond à A. Pour cela, il est logique de s’intéresser au signe de la partie imaginaire de A :

\begin{array}{ccc}\text{Im}\left(A\right)& = & \sin\left(\frac{2\pi}{7}\right)+\sin\left(\frac{4\pi}{7}\right)+\sin\left(\frac{8\pi}{7}\right)\\\\& = & \sin\left(\frac{2\pi}{7}\right)+\sin\left(\frac{4\pi}{7}\right)-\sin\left(\frac{\pi}{7}\right)\end{array}

Or, d’une part :

    \[\frac{4\pi}{7}\in\left[0,\pi\right]\]

et donc :

    \[\sin\left(\frac{4\pi}{7}\right)\geqslant0\]

et, d’autre part, \sin est croissante sur {\displaystyle \left[0,\frac{\pi}{2}\right]} et donc :

    \[\sin\left(\frac{2\pi}{7}\right)-\sin\left(\frac{\pi}{7}\right)\geqslant0\]

La partie imaginaire de A est ainsi positive, d’où A=\frac{-1+i\sqrt{7}}{2}.

En définitive :

\boxed{\displaystyle{\sin\left(\frac{2\pi}{7}\right)+\sin\left(\frac{4\pi}{7}\right)+\sin\left(\frac{8\pi}{7}\right)=\frac{\sqrt{7}}{2}}}


Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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