Solution pour le challenge n° 3

Solution pour le challenge 3

Il faut penser à utiliser les nombres complexes ! Posons dans toute la suite :

$\omega=\frac{2\pi}{7}$

$z=e^{i\omega}$

$\boxed{A=z+z^{2}+z^{4}}$

D’après la formule de Moivre :

$A=e^{2i\pi/7}+e^{4i\pi/7}+e^{8i\pi/7}$

Le but du jeu est de calculer la partie imaginaire de $A$ .

Or, l’expression qui définit $A$ est un fragment de la somme géométrique suivante :
$1+\boxed{z}+\boxed{z^{2}}+z^{3}+\boxed{z^{4}}+z^{5}+z^{6}$

et cette somme vaut :

$\frac{1-z^{7}}{1-z}=0$

car $z$ est une racine septième de l’unité. Il est donc naturel d’introduire :

$\boxed{B=z^{3}+z^{5}+z^{6}}$

L’étape suivante consiste à observer que la somme et le produit de $A$ et $B$ sont aisément calculables. En effet :

$A+B=-1$

$\begin{eqnarray*}AB & = & z^{4}+z^{6}+z^{7}\\& & +z^{5}+z^{7}+z^{8}\\& & +z^{7}+z^{9}+z^{10}\\\end{eqnarray*}$

c’est-à-dire, compte tenu de l’égalité $z^{7}=1$ :

$\begin{eqnarray*}AB & = & 3+z+z^{2}+z^{3}\\& &+z^{4}+z^{5}+z^{6}\\& = & 3+A+B\\& = & 2\end{eqnarray*}$

Bref, on a prouvé que :

$\boxed{\left\{\begin{array}{ccc}A+B & = & -1\\AB & = & 2\end{array}\right.}$

Il s’ensuit que $A$ et $B$ sont les racines du trinôme $P=X^{2}+X+2$ . Le discriminant de $P$ est $\Delta=-7$ et ses racines complexes sont donc :

$\frac{-1\pm i\sqrt{7}}{2}$

Il reste à déterminer laquelle des deux correspond à $A$ . Pour cela, il est logique de s’intéresser au signe de la partie imaginaire de $A$ :

$\begin{array}{ccc}\text{Im}\left(A\right)& = & \sin\left(\frac{2\pi}{7}\right)+\sin\left(\frac{4\pi}{7}\right)+\sin\left(\frac{8\pi}{7}\right)\\\\& = & \sin\left(\frac{2\pi}{7}\right)+\sin\left(\frac{4\pi}{7}\right)-\sin\left(\frac{\pi}{7}\right)\end{array}$