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Solution pour le challenge 1

Méthode 1

➣ Si a\geqslant2 et c\geqslant2, alors :

    \begin{eqnarray*}a+b&=&cd\\&\geqslant&2d\\&\geqslant& c+d\\&=&ab\\&\geqslant&2b\\&\geqslant&a+b\end{eqnarray*}

Chacune de ces inégalités est donc une égalité.

En particulier : a+b=ab, c’est-à-dire \left(a-1\right)\left(b-1\right)=1, ce qui impose a=b=2.

De la même façon c=d=2. Bref : \left(a,b,c,d\right)=\left(2,2,2,2\right).

➣ Supposons maintenant le contraire, c’est-à-dire : a=1 ou b=1.

Si a=1, alors par hypothèse :

    \begin{eqnarray*}1+b & = & cd\\c+d & = & b\end{eqnarray*}

donc cd=1+c+d, c’est-à-dire \left(c-1\right)\left(d-1\right)=2.

Vu que c\leqslant d, il s’ensuit que c=2 et d=3, d’où b=5.

Ainsi \left(a,b,c,d\right)=\left(1,5,2,3\right).

Et si c=1, on parvient de même à \left(a,b,c,d\right)=\left(2,3,1,5\right).

En conclusion, il existe trois quadruplets solutions :

    \[\boxed{\begin{matrix}t_1&=&\left(2,2,2,2\right)\\t_2&=&\left(1,5,2,3\right)\\t_3&=&\left(2,3,1,5\right)\end{matrix}}\]

Méthode 2

On observe que :

    \begin{eqnarray*}& &(a-1)(b-1)\\&=&ab-a-b+1\\&=&c+d-a-b+1\end{eqnarray*}

et de même :

    \begin{eqnarray*}& &(c-1)(d-1)\\&=&cd-c-d+1\\&=&a+b-c-d+1\end{eqnarray*}

d’où : (a-1)(b-1)+(c-1)(d-1)=2

Trois cas se présentent :

➣ Cas 1 :

    \begin{eqnarray*}(a-1)(b-1)&=&1\\(c-1)(d-1)&=&1\end{eqnarray*}

Alors :

    \[(a,b,c,d)=(2,2,2,2)\]

➣ Cas 2 :

    \begin{eqnarray*}(a-1)(b-1)&=&2\\(c-1)(d-1)&=&0\end{eqnarray*}

Vu que a\leqslant b et c\leqslant d, il vient : \left(a,b,c,d\right)=\left(2,3,1,5\right).

➣ Cas 3 :

    \begin{eqnarray*}(a-1)(b-1)&=&0\\(c-1)(d-1)&=&2\end{eqnarray*}

Ce cas est similaire au précédent et conduit à (a,b,c,d)=(1,5,2,3).

On retrouve les trois couples solutions obtenus par la méthode 1.

Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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