Ce qui suit est une mise en forme d’une démonstration écrite par Levi Ben Gerson en 1343 à la demande de Philippe de Vitry (voir la dernière section de l’article Qu’est-ce qu’une conjecture pour plus de détails).

Les connaissances requises sont quelques notions élémentaires d’algèbre et d’arithmétique. Cet énoncé peut largement être proposé en terminale S (enseignement de spécialité).


 

Enoncé

 

On appelle « nombre harmonique » tout entier de la forme 2^{m}3^{n}m,n\in\mathbb{N}.

On se propose de montrer que les seules paires de nombres harmoniques consécutifs sont \left(1,2\right), \left(2,3\right), \left(3,4\right) et \left(8,9\right).

On considère donc deux entiers A,B définis par :

    \[ A=2^{m}3^{n}\qquad\text{et}\qquad B=2^{p}3^{q} \]

avec m,n,p,q\in\mathbb{N} et tels que \left|A-B\right|=1.

  1. Montrer que A,B ne peuvent pas être tous deux pairs.
  2. Montrer que A,B ne peuvent pas être tous deux multiples de 3.
  3. On suppose donc maintenant que A=3^{n} et B=2^{p}.
    • Montrer que A\equiv1\text{ ou }3\pmod{8}
    • Montrer que si A+1=B, alors \left(A,B\right)=\left(1,2\right) ou \left(A,B\right)=\left(3,4\right)
    • Montrer que si A-1=B, alors \left(A,B\right)=\left(3,2\right) ou \left(A,B\right)=\left(9,8\right)

 

Solution

  1. Si A,B sont tous deux pairs, alors (comme A-B\neq0) :

        \[\left|A-B\right|\geqslant2\]

    … contradiction.

  2. De même, si A,B sont tous deux multiples de 3, alors (comme A-B\neq0) :

        \[\left|A-B\right|\geqslant3\]

    … contradiction again.

    • Si n est pair, alors en posant n=2k :

          \[A=3^{2k}=9^{k}\equiv1\pmod{8}\]

      et sinon, en posant n=2k+1 :

          \[A=3^{2k+1}=3\times9^{k}\equiv3\pmod{8}\]

    • Si A+1=B, alors B\equiv2\text{ ou }4\pmod{8} ce qui impose B=2\text{ ou }4 et donc :

          \[\left(A,B\right)=\left(1,2\right)\text{ ou }\left(A,B\right)=\left(3,4\right)\]

    • Si A-1=B, alors B\equiv0\text{ ou }2\pmod{8} c’est-à-dire :

          \[B=2\text{ ou }\left(B=2^{p}\text{ avec }p\geqslant3\right)\]

      Si B=2, alors \left(A,B\right)=\left(3,2\right) et sinon, n est nécessairement pair (d’après 3-a). En posant n=2k, la relation 3^{n}-1=2^{p} prend la forme :

          \[\left(3^{k}-1\right)\left(3^{k}+1\right)=2^{p}\]

      ce qui montre que 3^{k}-1 et 3^{k}+1 sont deux puissances de 2 distantes de 2. Il ne peut s’agir que de 2 et 4. Bref : k=1 et donc

          \[\left(A,B\right)=\left(9,8\right)\]

 

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