Ce qui suit est une mise en forme d’une démonstration écrite par Levi Ben Gerson en 1343 à la demande de Philippe de Vitry (voir la dernière section de l’article Qu’est-ce qu’une conjecture pour plus de détails).
Les connaissances requises sont quelques notions élémentaires d’algèbre et d’arithmétique.
Le résultat démontré ici est une version très rudimentaire de la conjecture de Catalan, selon laquelle les entiers 8 et 9 constituent le seul couple de puissances parfaites consécutives.
Enoncé
On appelle « nombre harmonique » tout entier de la forme où
On se propose de montrer que les seules paires de nombres harmoniques consécutifs sont ,
,
et
On considère donc deux entiers définis par :


- Montrer que
ne peuvent pas être tous deux pairs.
- Montrer que
ne peuvent pas être tous deux multiples de
- On suppose donc maintenant que
et
- Montrer que
- Montrer que si
alors
ou
- Montrer que si
alors
ou
- Montrer que
Solution
- Si
sont tous deux pairs, alors (comme
) :
- De même, si
sont tous deux multiples de
alors (comme
) :
- Comme
ne sont ni simultanément pairs, ni simultanément multiples de 3, on peut supposer que l’un deux est une puissance de 2 et que l’autre est une puissance de 3. Posons donc :
- Si n est pair, alors en posant
:
:
- Si
, alors
ce qui impose
et donc :
- Si
alors
c’est-à-dire :
alors
et sinon,
est nécessairement pair (d’après 3-a). En posant
, la relation
prend la forme :
et
sont deux puissances de
distantes de
Il ne peut s’agir que de
et
Bref :
et donc
- Si n est pair, alors en posant