Ce qui suit est une mise en forme d’une démonstration écrite par Levi Ben Gerson en 1343 à la demande de Philippe de Vitry (voir la dernière section de l’article Qu’est-ce qu’une conjecture pour plus de détails).

Les connaissances requises sont quelques notions élémentaires d’algèbre et d’arithmétique.

Le résultat démontré ici est une version très rudimentaire de la conjecture de Catalan, selon laquelle les entiers 8 et 9 constituent le seul couple de puissances parfaites consécutives.

Enoncé

On appelle « nombre harmonique » tout entier de la forme 2^{m}3^{n} où m,n\in\mathbb{N}.

On se propose de montrer que les seules paires de nombres harmoniques consécutifs sont \left(1,2\right), \left(2,3\right), \left(3,4\right) et \left(8,9\right).

On considère donc deux entiers A,B définis par :

    \[\fcolorbox{black}{myBlue}{$A=2^{m}3^{n}$}\qquad\text{et}\qquad\fcolorbox{black}{myBlue}{$B=2^{p}3^{q}$}\]

avec m,n,p,q\in\mathbb{N} et tels que \left|A-B\right|=1.

  1. Montrer que A,B ne peuvent pas être tous deux pairs.
  2. Montrer que A,B ne peuvent pas être tous deux multiples de 3.
  3. On suppose donc maintenant que A=3^{n} et B=2^{p}.
    • Montrer que A\equiv1\text{ ou }3\pmod{8}
    • Montrer que si A+1=B, alors \left(A,B\right)=\left(1,2\right) ou \left(A,B\right)=\left(3,4\right)
    • Montrer que si A-1=B, alors \left(A,B\right)=\left(3,2\right) ou \left(A,B\right)=\left(9,8\right)

Solution

  1. Si A,B sont tous deux pairs, alors (comme A-B\neq0) :

        \[\left|A-B\right|\geqslant2\]

    … contradiction.
  2. De même, si A,B sont tous deux multiples de 3, alors (comme A-B\neq0) :

        \[\left|A-B\right|\geqslant3\]

    … nouvelle contradiction.
  3. Comme A,B ne sont ni simultanément pairs, ni simultanément multiples de 3, on peut supposer que l’un deux est une puissance de 2 et que l’autre est une puissance de 3. Posons donc :

        \[\fcolorbox{black}{myBlue}{$A=3^{n}$}\qquad\text{et}\qquad\fcolorbox{black}{myBlue}{$B=2^{p}$}\]

    • Si n est pair, alors en posant n=2k :

          \[A=3^{2k}=9^{k}\equiv1\pmod{8}\]

      et sinon, en posant n=2k+1 :

          \[A=3^{2k+1}=3\times9^{k}\equiv3\pmod{8}\]

    • Si A+1=B, alors B\equiv2\text{ ou }4\pmod{8} ce qui impose B=2\text{ ou }4 et donc :

          \[\left(A,B\right)=\left(1,2\right)\text{ ou }\left(A,B\right)=\left(3,4\right)\]

    • Si A-1=B, alors B\equiv0\text{ ou }2\pmod{8} c’est-à-dire :

          \[B=2\text{ ou }\left(B=2^{p}\text{ avec }p\geqslant3\right)\]

      Si B=2, alors \left(A,B\right)=\left(3,2\right) et sinon, n est nécessairement pair (d’après 3-a). En posant n=2k, la relation 3^{n}-1=2^{p} prend la forme :

          \[\left(3^{k}-1\right)\left(3^{k}+1\right)=2^{p}\]

      ce qui montre que 3^{k}-1 et 3^{k}+1 sont deux puissances de 2 distantes de 2. Il ne peut s’agir que de 2 et 4. Bref : k=1 et donc

          \[\left(A,B\right)=\left(9,8\right)\]

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