Lettre S

SÉRIE

A toute suite $\left(u_{n}\right)_{n\geqslant0}$ de nombres complexes, on peut associer la suite $\left(S_{n}\right)_{n\geqslant0}$ des sommes partielles, en posant pour tout $n\in\mathbb{N}$ :

$S_{n}=\sum_{k=0}^{n}u_{k}$

Cette suite $S$ est aussi appelée la série de terme général $u_{n}.$ On la note $\sum_{k\geqslant0}u_{k}.$

Cette définition fait sens puisque, connaissant $S,$ on retrouve aussitôt $u$ en calculant :

$u_{0}=S_{0}\quad\text{et}\quad\forall n\in\mathbb{N}^{\star},\thinspace u_{n}=S_{n}-S_{n-1}$

En cas de convergence de la suite $S,$ sa limite est appelée somme de la série et notée :

$\sum_{k=0}^{\infty}u_{k}$

On dit aussi que la série $\sum_{k\geqslant0}u_{k}$ converge.

Toujours en cas de convergence, on définit le reste de rang $n$ comme étant :

$R_{n}=\sum_{k=0}^{\infty}u_{k}-\sum_{k=0}^{n}u_{k}$

Il est donc clair que :

$\lim_{n\rightarrow\infty}R_{n}=0$

Remarque

La notion de série convergente s’étudie plus généralement dans le cadre des espaces vectoriels normés.

Exemple 1

Si $q\in\mathbb{C}$ est tel que $\left|q\right|<1,$ alors la série géométrique $\sum_{k\geqslant0}q^{k}$ converge et sa somme est :

$\sum_{k=0}^{\infty}q^{k}=\frac{1}{1-q}$

Exemple 2

Si $x\in\left[0,1\right[,$ le développement décimal propre de $x$ n’est autre que l’écriture de $x$ comme somme d’une série particulière :

$x=\sum_{k=1}^{\infty}c_{k}\left(x\right)\thinspace10^{-k}$

où $c_{k}\left(x\right)$ est le $k-$ ème chiffre décimal de $x,$ défini par :

$c_{k}\left(x\right)=\left\lfloor 10^{k}x\right\rfloor -10\left\lfloor 10^{k-1}x\right\rfloor$

C’est ainsi que les écritures habituelles :

$\frac{1}{7}=0,142857142857\cdots$

$\sqrt{2}=0,414213562373\cdots$

$\pi=3,141592653589\cdots$

dissimulent en fait des séries convergentes.

Exemple 3

Si $s\in\mathbb{C}$ est tel que $\text{Re}\left(s\right)>1,$ alors la série de Riemann $\sum_{k\geqslant1}\frac{1}{k^{s}}$ converge et sa somme est notée $\zeta\left(s\right).$

La fonction $\zeta$ ainsi définie est appelée fonction zeta de Riemann. On peut montrer que, pour tout entier $p\geqslant1$ :

$\zeta\left(2p\right)=\pi^{2p}r_{p}$

où $r_{p}$ est un rationnel strictement positif, dont l’expression fait intervenir les nombres de Bernoulli :

$r_{p}=\frac{\left(-1\right)^{p-1}B_{2p}\thinspace2^{2p-1}}{\left(2p\right)!}$

Si une série converge, alors son terme général tend vers 0 et la réciproque est fausse, comme on le voit avec la série harmonique :

$\sum_{k\geqslant1}\frac{1}{k}$

En effet, celle-ci diverge car pour tout $n\geqslant1$ :

$\begin{eqnarray*}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k} & \geqslant & \sum_{k=1}^{n}\ln\left(1+\frac{1}{k}\right)\\ & = & \sum_{k=1}^{n}\left[\ln\left(k+1\right)-\ln\left(k\right)\right]\\ & = & \ln\left(n+1\right) \end{eqnarray*}$

L’étude de la nature (convergence ou divergence) d’une série se fait habituellement au moyen d’un cortège de régles (conditions nécessaires ou suffisantes de convergence), comme par exemple la règle de d’Alembert, la théorème des séries alternées ou encore de le théorème de convergence absolue.

Cependant, l’ensemble des règles connues ne suffit pas à traiter n’importe quel exemple …

Exemple 4

La nature de la série

$\sum_{k\geqslant1}\frac{1}{k^{2}\sin\left(k\right)}$

est à ce jour inconnue. Nul ne sait si elle converge ou bien si elle diverge …

SUITE

Soit $X$ un ensemble non vide.

Une suite à termes dans $X$ est une application $u:\mathbb{N}\to X$ .

Si $u$ est une suite, on note $u_n$ son terme de rang $n$ (on dit aussi : d‘indice $n$ ); c’est l’image de $n$ par l’application $u$ . Cette notation, largement utilisée, est une alternative à la notation $u(n)$ , qu’on utilise habituellement pour désigner l’image d’un élément par une application.

Si l’on dispose d’une formule pour $u_n$ , on peut alors noter $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ au lieu de $u$ .

Par exemple : la suite $(n^2)_{n\in\mathbb{N}}$ .

Par extension, l’ensemble de départ d’une suite n’est pas obligatoirement $\mathbb{N}$ . Il peut s’agir, plus généralement, d’une partie de $\mathbb{N}$ de la forme $\llbracket N,+\infty\llbracket$ , pour un certain $N\in\mathbb{N}$ .

On note alors $(u_n)_{n\geqslant N}$ . Par exemple : la suite $\left(\frac1{n-3}\right)_{n\geqslant3}$ .

Attention ! Ne pas confondre :

la suite $u$ à termes dans $X$ : c’est une application de $\mathbb{N}$ dans $X$ .
le terme $u_n$ : c’est un élément de $X$ .
l’ensemble $\{u_n;\,n\in\mathbb{N}\}$ des termes de la suite $u$ : c’est une partie de $X$ .

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