Lettre N

(élément) NEUTRE

Etant donnée une opération \star sur un ensemble E, un élément e\in E est dit neutre à gauche pour cette opération lorsque :

    \[\forall x\in E,\,e\star x=x\]

On définit de même la notion d’élément neutre à droite. Un élément neutre (tout court) est un élément à la fois neutre à gauche et neutre à droite. Ces trois notions se confondent si \star est commutative.

L’existence d’un élément neutre n’est pas garantie (voir exemple plus bas).

En revanche, il y a unicité puisque si e et e' sont neutres pour \star, alors :

    \[e'=e\star e'=e\]

l’égalité de gauche résultant du fait que e est neutre et celle de droite résultant du fait que e' est neutre.

Quelques exemples usuels :

  • Le neutre pour l’addition dans \mathbb{R} est 0.
  • Le neutre pour la multiplication dans \mathbb{R} est 1.
  • Le neutre pour la composition (loi \circ) dans A^A (ensemble des applications de A dans lui-même) est l’application identité id_A.
  • Les neutres des opérations d’union et d’intersection dans \mathcal{P}(A) (ensemble des parties de A) sont respectivement \emptyset et A.
  • Le neutre de la multiplication dans M_n(\mathbb{R}) est la matrice unité I_n.

Pour la soustraction dans \mathbb{R}, il n’existe pas d’élément neutre (toutefois, 0 est neutre à droite).

NORME

Etant donné un \mathbb{R}-espace vectoriel E, une norme sur E est une application N:E\rightarrow\mathbb{R}^{+} vérifiant les trois conditions suivantes :

  • Homogénéité :

        \[\fcolorbox{black}{myBlue}{$\forall\left(\lambda,x\right)\in\mathbb{R}\times E,\thinspace N\left(\lambda x\right)=\left|\lambda\right|\thinspace N\left(x\right)$}\]

  • Inégalité triangulaire :

        \[\fcolorbox{black}{myBlue}{$\forall\left(x,y\right)\in E^{2},\thinspace N\left(x+y\right)\leqslant N\left(x\right)+N\left(y\right)$}\]

  • Condition de séparation :

        \[\fcolorbox{black}{myBlue}{$\forall x\in E,\thinspace N\left(x\right)=0\Rightarrow x=0_{E}$}\]

On peut définir de la même façon une norme sur un \mathbb{C}-espace vectoriel, en considérant bien sûr que \left|\lambda\right| désigne cette fois le module du nombre complexe \lambda.

Un \mathbb{R}\text{ ou }\mathbb{C}-ev muni d’une norme est un espace vectoriel normé (evn en abrégé).

On définit, pour x\in E et r>0, la boule ouverte de centre x et de rayon r :

    \[B_{o}\left(x,r\right)=\left\{ y\in E;\thinspace N\left(y-x\right)<r\right\}\]

Si l’on note \mathcal{T} l’ensemble des unions de familles de boules ouvertes, alors \mathcal{T} est une topologie sur E, appelée topologie induite par la norme N. La troisième condition assure que cette topologie est séparée (pour tout couple \left(x,y\right) de vecteurs distincts, il existe un couple d’ouverts disjoints, l’un contenant x et l’autre y), ce qui justifie la terminologie (« condition de séparation »).

L’application :

    \[E^{2}\rightarrow\mathbb{R}^{+},\thinspace\left(x,y\right)\mapsto N\left(x-y\right)\]

est une distance, appelée distance induite par la norme. Il s’agit d’une distance invariante par translation et non bornée (en supposant E non réduit à son vecteur nul). Tout evn est donc, en particulier, un espace métrique.

Exemples fondamentaux

➣ Dans \mathbb{R}^{n}, les trois normes standard sont définies par :

    \[ \forall x\in\mathbb{R}^{n},\thinspace\left\{ \begin{array}{ccc} N_{1}\left(x\right) & = & {\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|}\\ \\ N_{2}\left(x\right) & = & {\displaystyle \left(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)^{1/2}}\\ \\ N_{\infty}\left(x\right) & = & {\displaystyle \max_{1\leqslant i\leqslant n}\left|x_{i}\right|} \end{array}\right. \]

On notera que si n=1, ces trois normes se confondent : on retrouve la valeur absolue (qui est la norme usuelle sur \mathbb{R}).

➣ Dans l’espace \mathcal{C}\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right) des applications continues de \left[a,b\right] dans \mathbb{R}, les trois normes standard sont définies par :

    \[\forall f\in\mathcal{C}\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right),\thinspace\left\{ \begin{array}{ccc} \left\Vert f\right\Vert_{1} & = & {\displaystyle \int_{a}^{b}\left|f\left(t\right)\right|\thinspace dt}\\\\\left\Vert f\right\Vert_{2} & = & {\displaystyle \left(\int_{a}^{b}f\left(t\right)^{2}\thinspace dt\right)^{1/2}}\\\\\left\Vert f\right\Vert_{\infty} & = & {\displaystyle \sup_{t\in\left[a,b\right]}\left|f\left(t\right)\right|}\end{array}\right.\]

Normes euclidiennes

Si un \mathbb{R}-espace vectoriel E est muni d’un produit scalaire, alors l’application :

    \[E\rightarrow\mathbb{R}^{+},\thinspace x\mapsto\left(x\mid x\right)^{1/2}\]

est une norme, appelée norme euclidienne sur E. L’inégalité pour cette norme triangulaire découle de l’inégalité de Cauchy-Schwarz pour le produit scalaire dont elle est issue.

Dans les exemples ci-dessus :

  • N_{2} est une norme euclidienne sur \mathbb{R}^{n}. Elle est issue du produit scalaire défini par :

        \[\left(x\mid y\right)=\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\]

  • \left\Vert \:\right\Vert_{2} est une norme euclidienne sur \mathcal{C}\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right). Elle est issue du produit scalaire défini par :

        \[\left(f\mid g\right)=\int_{a}^{b}f\left(t\right)\thinspace g\left(t\right)\thinspace dt\]

Une condition nécessaire et suffisante pour qu’une norme N sur un \mathbb{R}-espace vectoriel E soit euclidienne est qu’elle vérifie la formule du parallélogramme :

    \[\forall\left(x,y\right)\in E^{2},\thinspace N\left(x+y\right)^2+N\left(x-y\right)^2=2\left[N\left(x\right)^2+N\left(y\right)^2\right]\]

Ce résultat est connu sous le nom de théorème de Jordan – Von Neumann.

Signalons encore un résultat important (parmi tant d’autres) :

Etant donné un \mathbb{R}-espace vectoriel E, une norme sur E est une application N:E\rightarrow\mathbb{R}^{+} vérifiant les trois conditions suivantes :

  • Homogénéité :

        \[\fcolorbox{black}{myBlue}{$\forall\left(\lambda,x\right)\in\mathbb{R}\times E,\thinspace N\left(\lambda x\right)=\left|\lambda\right|\thinspace N\left(x\right)$}\]

  • Inégalité triangulaire :

        \[\fcolorbox{black}{myBlue}{$\forall\left(x,y\right)\in E^{2},\thinspace N\left(x+y\right)\leqslant N\left(x\right)+N\left(y\right)$}\]

  • Condition de séparation :

        \[\fcolorbox{black}{myBlue}{$\forall x\in E,\thinspace N\left(x\right)=0\Rightarrow x=0_{E}$}\]

On peut définir de la même façon une norme sur un \mathbb{C}-espace vectoriel, en considérant bien sûr que \left|\lambda\right| désigne cette fois le module du nombre complexe \lambda.

Un \mathbb{R}\text{ ou }\mathbb{C}-ev muni d’une norme est un espace vectoriel normé (evn en abrégé).

On définit, pour x\in E et r>0, la boule ouverte de centre x et de rayon r :

    \[B_{o}\left(x,r\right)=\left\{ y\in E;\thinspace N\left(y-x\right)<r\right\}\]

Si l’on note \mathcal{T} l’ensemble des unions de familles de boules ouvertes, alors \mathcal{T} est une topologie sur E, appelée topologie induite par la norme N. La troisième condition assure que cette topologie est séparée (pour tout couple \left(x,y\right) de vecteurs distincts, il existe un couple d’ouverts disjoints, l’un contenant x et l’autre y), ce qui justifie la terminologie (« condition de séparation »).

L’application :

    \[E^{2}\rightarrow\mathbb{R}^{+},\thinspace\left(x,y\right)\mapsto N\left(x-y\right)\]

est une distance, appelée distance induite par la norme. Il s’agit d’une distance invariante par translation et non bornée (en supposant E non réduit à son vecteur nul). Tout evn est donc, en particulier, un espace métrique.

Exemples fondamentaux

➣ Dans \mathbb{R}^{n}, les trois normes standard sont définies par :

    \[ \forall x\in\mathbb{R}^{n},\thinspace\left\{ \begin{array}{ccc} N_{1}\left(x\right) & = & {\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|}\\ \\ N_{2}\left(x\right) & = & {\displaystyle \left(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)^{1/2}}\\ \\ N_{\infty}\left(x\right) & = & {\displaystyle \max_{1\leqslant i\leqslant n}\left|x_{i}\right|} \end{array}\right. \]

On notera que si n=1, ces trois normes se confondent : on retrouve la valeur absolue (qui est la norme usuelle sur \mathbb{R}).

➣ Dans l’espace \mathcal{C}\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right) des applications continues de \left[a,b\right] dans \mathbb{R}, les trois normes standard sont définies par :

    \[\forall f\in\mathcal{C}\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right),\thinspace\left\{ \begin{array}{ccc} \left\Vert f\right\Vert_{1} & = & {\displaystyle \int_{a}^{b}\left|f\left(t\right)\right|\thinspace dt}\\\\\left\Vert f\right\Vert_{2} & = & {\displaystyle \left(\int_{a}^{b}f\left(t\right)^{2}\thinspace dt\right)^{1/2}}\\\\\left\Vert f\right\Vert_{\infty} & = & {\displaystyle \sup_{t\in\left[a,b\right]}\left|f\left(t\right)\right|}\end{array}\right.\]

Normes euclidiennes

Si un \mathbb{R}-espace vectoriel E est muni d’un produit scalaire, alors l’application :

    \[E\rightarrow\mathbb{R}^{+},\thinspace x\mapsto\left(x\mid x\right)^{1/2}\]

est une norme, appelée norme euclidienne sur E. L’inégalité pour cette norme triangulaire découle de l’inégalité de Cauchy-Schwarz pour le produit scalaire dont elle est issue.

Dans les exemples ci-dessus :

  • N_{2} est une norme euclidienne sur \mathbb{R}^{n}. Elle est issue du produit scalaire défini par :

        \[\left(x\mid y\right)=\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\]

  • \left\Vert \:\right\Vert_{2} est une norme euclidienne sur \mathcal{C}\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right). Elle est issue du produit scalaire défini par :

        \[\left(f\mid g\right)=\int_{a}^{b}f\left(t\right)\thinspace g\left(t\right)\thinspace dt\]

Une condition nécessaire et suffisante pour qu’une norme N sur un \mathbb{R}-espace vectoriel E soit euclidienne est qu’elle vérifie la formule du parallélogramme :

    \[\forall\left(x,y\right)\in E^{2},\thinspace N\left(x+y\right)^2+N\left(x-y\right)^2=2\left[N\left(x\right)^2+N\left(y\right)^2\right]\]

Ce résultat est connu sous le nom de théorème de Jordan – Von Neumann.

Signalons encore un résultat important (parmi tant d’autres) :

Théorème (F. Riesz)

Un \mathbb{R}-espace vectoriel est de dimension finie si, et seulement si, sa boule unité fermée est compacte

NOYAU

Considérons deux groupes \left(G,.\right) et \left(G',.\right).

On adopte la notation multiplicative pour l’un comme pour l’autre. En particulier, les éléments neutres sont respectivement notés 1 et 1'.

Etant donné un morphisme de groupes f:G\rightarrow G', le noyau de f est par définition :

    \[\ker\left(f\right)=\left\{ x\in G;\thinspace f\left(x\right)=1'\right\}\]

C’est un sous-groupe de G, qui est réduit à \left\{ 1\right\} si, et seulement si, f est injectif.

\ker\left(f\right) est plus précisément un sous-groupe normal (distingué) de G et le groupe quotient G/\ker\left(f\right) est isomorphe au sous-groupe f\left\langle G\right\rangle de G'.

La notation ker provient de mots anglais kernel et allemand Kern, qui signifient noyau.

Exemple

L’application \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}^{\star},\thinspace t\mapsto e^{it} est un morphisme du groupe \left(\mathbb{R},+\right) vers le groupe \left(\mathbb{C}^{\star},\times\right), dont le noyau est 2\pi\mathbb{Z}. Comme l’image directe de \mathbb{R} par ce morphisme est le groupe \left(\mathbb{U},\times\right) des nombres complexes de module 1, il en résulte que les groupes \left(\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z},+\right) et \left(\mathbb{U},\times\right) sont isomorphes.

➣ On définit le noyau d’un morphisme d’anneaux comme étant le noyau du morphisme des groupes additifs sous-jacents. En clair, si \left(A,+,\times\right) et \left(B,+,\times\right) sont des anneaux et si \varphi:A\rightarrow B est un morphisme d’anneaux, alors par définition :

    \[\ker\left(\varphi\right)=\left\{ x\in A,\thinspace\varphi\left(x\right)=0_{B}\right\}\]

0_{B} désignant l’élément nul de B (c’est-à-dire son élément neutre additif). Le noyau d’un morphisme d’anneaux est un idéal (bilatère) de l’anneau de départ.

➣ De même, si \mathbb{K} est un corps et si E,F sont deux \mathbb{K}-espaces vectoriels, alors le noyau d’une application linéaire u:E\rightarrow F est :

    \[\ker\left(u\right)=\left\{ x\in E;\thinspace u\left(x\right)=0_{F}\right\}\]

0_{F} désignant le vecteur nul de F.

Le noyau d’une application linéaire est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel de départ.

➣ En superposant, en quelque sorte, les deux points précédents, on obtient la notion de noyau d’un morphisme de \mathbb{K}-algèbres.

Exemple

Etant donné un \mathbb{K}-espace vectoriel E ainsi qu’un endomorphisme u\in\mathcal{L}\left(E\right), l’application

    \[\Phi_{u}:\mathbb{K}\left[X\right]\rightarrow\mathcal{L}\left(E\right),\thinspace P\mapsto P\left(u\right)\]

est un morphisme de \mathbb{K}-algèbres. Son noyau est donc un idéal de l’anneau de polynômes \mathbb{K}\left[X\right], appelé idéal annulateur de u.

L’anneau \left(\mathbb{K}\left[X\right],+,\times\right) étant principal, ceci entraîne que si \ker\left(\Phi_{u}\right)\neq\left\{ 0\right\} (ce qui est automatiquement le cas dès que E est de dimension finie) alors il existe un (unique) polynôme unitaire \mu_{u} qui engendre cet idéal. C’est le fameux polynôme minimal annulateur de u, dont on peut montrer que les racines dans \mathbb{K} sont exactement les valeurs propres de u et qui est un diviseur de tout polynôme annulateur de u (et donc, notamment, de son polynôme caractéristique, d’après le théorème de Cayley-Hamilton).

Partager cet article