Indications - Exercices sur les suites numériques - 01

Indications pour démarrer les exercices sur les suites numériques (fiche 01).
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Si $\lambda$ désigne le « point fixe de l’itération », c’est-à-dire l’unique réel vérifiant :

$\lambda=\frac{\lambda}{3}-\frac{1}{2}$

alors la suite $\left(u_{n}-\lambda\right)_{n\in\mathbb{N}}$ est particulièrement simple à étudier.

Qu’on obtient-on si l’on ajoute membre à membre les deux formules de récurrence ? Et si on les soustrait ?

Observer que, pour tout $n\geqslant1$ :

$q_{n+1}=1+q_{n}\prod_{i=0}^{n-1}q_{i}$

En ce qui concerne $S_{n},$ je vous suggère de calculer numériquement cette somme pour de petites valeurs de $n.$

En admettant temporairement la convergence de la suite, il n’est pas difficile de calculer sa limite $\ell.$

On peut alors trouver un réel $q\in\left]0,1\right[$ tel que $\left|x_{n+1}-\lambda\right|\leqslant q\thinspace\left|x_{n}-\lambda\right|$ pour tout $n\geqslant1.$

La preuve de l’inégalité

$\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}>\frac{3}{x}$

pour $x>0$ ne devrait pas poser de problème.

Ensuite, on peut considérer la somme $H_{3n+1}$ et regrouper les termes trois par trois à partir du second …

En divisant chaque membre de la formule de récurrence par $\left(n+1\right)!,$ on parvient à exprimer $y_{n}$ sous la forme d’une somme.

Quel est le sens de variation de la suite $\left(b_{n}-a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ ?

Vérifier, en utilisant le théorème de la limite monotone, que cette suite converge.

Un conseil : commencer par passer au logarithme, afin de transformer le produit en somme.

Ensuite, il faut penser à une somme de Riemann.

Quel est le signe de l’expression $e^{t}-1-t,$ pour $t\in\mathbb{R}$ ? Que peut-on dire de trois suites à termes réels positifs dont la somme converge vers $0$ ?

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