Indications - Exercices sur la récurrence - 01

Indications pour démarrer les exercices sur le raisonnement par récurrence (fiche 01).
Cliquer ici pour accéder aux énoncés.

L’initialisation ne devrait poser aucun problème. Pour l’hérédité, on suppose que $10\times8^{n-1}+3^{3n-1}=19K,$ puis on écrit :

$10\times8^{n}+3^{3n+2}=8\left(10\times8^{n-1}+3^{3n-1}\right)+\cdots$

Pour $n=2,$ il suffit de développer $\left(1+x\right)^{2}.$ Pour
l’hérédité : on suppose que $\left(1+x\right)^{n}>1+nx$ pour un certain
$n$ (avec $x>0$ fixé) et on multiplie chaque membre de cette inégalité
par un même nombre …

On peut éviter la récurrence en appliquant la formule du binôme.

Vérifier « bêtement » que l’inégalité est vraie au rang $n=11,$

puis effectuer une récurrence du second ordre.

Pour commencer, étudier les variations de l’application

$\varphi:\left]0,+\infty\right[\rightarrow\mathbb{R},t\mapsto\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t}$

Pour initialiser la récurrence, développer $\left(1-a_{1}\right)\left(1-a_{2}\right)$ .

Pour l’hérédité, partir de l’inégalité au rang $n,$ multiplier chaque membre par $\left(1-a_{n+1}\right)$ puis développer.

Effectuer une récurrence d’ordre 2 et utiliser la relation :

$\sin\left(\left(n-1\right)x\right)+\sin\left(\left(n+1\right)x\right)=2\sin\left(nx\right)\cos\left(x\right)$

Pour le dernier point (avec la partie entière), distinguer deux cas selon la parité de $n.$

Il pourra être utile de noter que :

$\left(n+k\right)\binom{n}{k}+\left(k-1\right)\binom{n}{k-1}=n\,\binom{n+1}{k}$

Il s’agit de montrer le résultat suivant :

Soient $n\in\mathbb{N}^{\star}$ et $d_{1},\cdots,d_{q}$ ses diviseurs. Notons $m_{i}$ le nombre de diviseurs de $d_{i}.$ Alors :

$\sum_{i=1}^{q}m_{i}^{3}=\left(\sum_{i=1}^{q}m_{i}\right)^{2}$

On peut raisonner par récurrence sur le nombre de facteurs premiers de $n.$

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