Indications - Exercices sur les racines carrées - 01 | Math-OS

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Que sait-on de la racine carrée d’un produit ? d’un quotient ?

Il s’agit de trouver le nombre d’entiers positifs $k$ vérifiant $171\leqslant k^2\leqslant320$ .

On n’est pas obligé de calculer séparément chaque facteur !

Utiliser la méthode présentée à cet endroit précis de la vidéo “Racine Carrée – Partie 2”.

Utiliser la méthode présentée à cet endroit précis de la vidéo “Racine Carrée – Partie 3.”

Méthode 1 :

Transformer la différence la différence

$D\left(x\right)=\left(1+\frac{x}{2}\right)-\sqrt{1+x}$

en utilisant la technique de l’expression conjuguée, puis majorer $D\left(x\right).$

Méthode 2 :

Etudier les variations de la fonction définie sur $\left[0,+\infty\right[$ par :

$f:x\mapsto\sqrt{1+x}-1-\frac{x}{2}+\frac{x^{2}}{8}$

On peut comparer les carrés ! Mais attention aux calculs, qui sont un peu … acrobatiques.

A cet endroit précis de la vidéo “Racine Carrée – partie 3”, on explique que, pour tout $x\in\mathbb{R},$ on a : $\sqrt{x^{2}}=\left|x\right|$ (la valeur absolue de $x$ ). Par ailleurs, la fonction racine carrée est croissante … Ceci doit vous permettre d’établir l’inégalité demandée.

Justifier que l’on peut écrire $\left(1+\sqrt2\right)^n$ sous la forme $a_n+b_n\sqrt2$ avec $a_n$ et $b_n$ entiers.

Que peut-on alors dire de $\left(1-\sqrt2\right)^n$ ?

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