Que sait-on de la racine carrée d’un produit ? d’un quotient ?

 

Il s’agit de trouver le nombre d’entiers positifs k vérifiant 171\leqslant k^2\leqslant320.

 

On n’est pas obligé de calculer séparément chaque facteur !

 

Utiliser la méthode présentée à cet endroit précis de la vidéo “Racine Carrée – Partie 2”.

 

Utiliser la méthode présentée à cet endroit précis de la vidéo “Racine Carrée – Partie 3.”

 

Méthode 1 :

Transformer la différence la différence

    \[ D\left(x\right)=\left(1+\frac{x}{2}\right)-\sqrt{1+x} \]

en utilisant la technique de l’expression conjuguée, puis majorer D\left(x\right).

Méthode 2 :

Etudier les variations de la fonction définie sur \left[0,+\infty\right[ par :

    \[ f:x\mapsto\sqrt{1+x}-1-\frac{x}{2}+\frac{x^{2}}{8} \]

 

On peut comparer les carrés ! Mais attention aux calculs, qui sont un peu … acrobatiques.

 

A cet endroit précis de la vidéo “Racine Carrée – partie 3”, on explique que, pour tout x\in\mathbb{R}, on a : \sqrt{x^{2}}=\left|x\right| (la valeur absolue de x). Par ailleurs, la fonction racine carrée est croissante … Ceci doit vous permettre d’établir l’inégalité demandée.

 

Justifier que l’on peut écrire \left(1+\sqrt2\right)^n sous la forme a_n+b_n\sqrt2 avec a_n et b_n entiers.

Que peut-on alors dire de \left(1-\sqrt2\right)^n ?

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