Indications pour démarrer les exercices sur les polynômes (fiche 01).
Cliquer ici pour accéder aux énoncés.

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exercice 1 facile

Utiliser la formule du binôme pour développer P_{n}.

exercice 2 facile

Un produit d’entiers naturels consécutifs doit pouvoir s’écrire comme un quotient de factorielles.

Et un quotient de factorielles, ça peut faire penser à la formule du binôme.

exercice 3 facile

Supposer que P-P'=Q puis dériver, dériver, dériver …

Tâcher de faire apparaître une différence de deux carrés pour factoriser X^{4}+X^{2}+1 dans \mathbb{Q}\left[X\right].

Point de départ suggéré :

    \[\sin\left(nx\right)=\text{Im}\left(\left(\cos\left(x\right)+i\sin\left(x\right)\right)^{n}\right)\]

puis développer cette puissance n-ème avec la formule du binôme.

On pourra montrer, en dérivant, qu’il n’existe pas de solution de degré \geqslant2.

Utiliser le polynôme P\in\mathbb{R}_{2}\left[X\right] qui coïncide avec f en a,b et c.

Considérer un tel polynôme et vérifier que si n\in\mathbb{N} et q\in\mathbb{N}^{\star} sont tels que n\equiv1\pmod{q}, alors P\left(n\right)\equiv P\left(1\right)\pmod{q}. Ensuite, choisir judicieusement l’entier q.

exercice 9 difficile

Je vous suggère de penser à l’interpolation de Lagrange. Si vous n’êtes pas à l’aise avec cette notion, vous pouvez consulter cette vidéo

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