Indications pour démarrer les exercices sur la notion d’éléments propres
pour un endomorphisme (fiche 01).
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Vérifier que la matrice 
possède deux valeurs propres distinctes : 2 et 3.
Pourquoi peut-on en déduire qu’elle est diagonalisable dans 
?
Rappel : pour qu’un endomorphisme d’un 
espace vectoriel de dimension finie soit diagonalisable, il est nécessaire et suffisant que son polynôme caractéristique soit scindé dans ![\mathbb{K}\left[X\right]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-df93be377a36375414a904d2b1b50708_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
et que, pour chaque valeur propre, la multiplicité de celle-ci dans le polynôme caractéristique soit égale à la dimension du sev propre associé.
Ensuite, pour calculer les puissances de 
une méthode générale repose sur la division euclidienne de 
par un polynôme annulateur de 
on prendra ici son polynôme caractéristique : 
Que peut-on dire de 
? Que peut-on en déduire quant aux valeurs propres de 
?
Si 
alors 
Si 
vérifie 
alors et 
commutent.
Il en résulte que tout sev propre de est stable par 
Une piste : si 
est un polynôme annulateur de 
il est facile de voir que est aussi annulateur de 
Essayer, quitte à restreindre et à un sev bien choisi, de se ramener au cas où l’un des deux endomorphismes est une homothétie.
Le cas où possède des valeurs propres est facile. Et s’il n’en possède pas, on peut considérer un polynôme annulateur et le décomposer en produit de facteurs irréductibles dans ![\mathbb{R}\left[X\right].](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9b2228f2022bf0eaf5f312296ac5a936_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Au fait … quels sont les éléments irréductibles de l’anneau ![\mathbb{R}\left[X\right]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5849ddfd524a8a53b5032dd14325e128_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
?
Au lieu de raisonner matriciellement, on peut considérer l’endomorphisme 
canoniquement associé à 
Si est diagonalisable, alors 
est la somme directe des sev propres de 
Si 
est nilpotent, alors il existe 
tel que ![\left[P\left(f\right)\right]^{q}\left(x\right)=0](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-463da12aaf78badf0386befa78706e23_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
pour tout 
Que devient cette égalité si 
est un vecteur propre ? Que peut-on en déduire concernant le polynôme ?