Indications - Exercices sur les coefficients binomiaux - 01

Ne pas utiliser la formule de Fermat sous la forme :

$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\thinspace\left(n-k\right)!}$

mais plutôt sa version simplifiée, telle qu’elle est présentée ici.

On part de l’entier 1.

➣ On multiplie par n puis on divise par 1,

➣ On multiplie par n-1 puis on divise par 2,

➣ On multiplie par n-2 puis on divise par 3,

… et ainsi de suite …

➣ Pour finir, on multiplie par n-k+1 puis on divise par k.

D’après la formule de Fermat simplifiée, cette séquence d’opérations conduit au calcul de $\displaystyle{\binom{n}{k}}$ .

Visiblement, il faut écrire une boucle inconditionnelle (for).

Rappelons aussi que (dans la syntaxe de Python 3), le quotient euclidien d’un entier A par un entier non nul B s’écrit : A // B (alors que A / B est une expression de type float).

Combiner la formule du pion et le théorème de Gauss.

Cette formule découle aussitôt de la formule du binôme : à détailler ! Pour l’interprétation combinatoire : considérer un ensemble E de cardinal n et prouver qu’il existe autant de parties de E de cardinal pair que de parties de E de cardinal impair.

Pour $A_{m,n}$ c’est une question classique : il s’agit du calcul de la somme des termes dans une colonne du triangle de Pascal (ce calcul est fait ici).

Pour $B_{m,n}$ et $C_{m,n}$ , on doit pouvoir s’y ramener via la formule du pion.

Etant donnée $g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ , on observe que pour tout $x\in\mathbb{R}$ :

$\left[F\left(g\right)\right]\left(x\right)=g\left(\alpha x\right)+g\left(\beta x\right)$

puis :

$\begin{eqnarray*}\left[F^{2}\left(g\right)\right]\left(x\right) & = & \left[F\left(g\right)\right]\left(\alpha x\right)+\left[F\left(g\right)\right]\left(\beta x\right)\\& = & \left(g\left(\alpha^{2}x\right)+g\left(\alpha\beta x\right)\right)+\left(g\left(\alpha\beta x\right)+g\left(\beta^{2}x\right)\right)\\& = & g\left(\alpha^{2}x\right)+2\thinspace g\left(\alpha\beta x\right)+g\left(\beta^{2}x\right)\end{eqnarray*}$

et encore :

$\begin{eqnarray*}\left[F^{3}\left(g\right)\right]\left(x\right) & = & \left[F^{2}\left(g\right)\right]\left(\alpha x\right)+\left[F^{2}\left(g\right)\left(\beta x\right)\right]\\& = & \left(g\left(\alpha^{3}x\right)+2\thinspace g\left(\alpha^{2}\beta x\right)+g\left(\alpha\beta^{2}x\right)\right)\\& & +\left(g\left(\alpha^{2}\beta x\right)+2\thinspace g\left(\alpha\beta^{2}x\right)+g\left(\beta^{3}x\right)\right)\\& = & g\left(\alpha^{3}x\right)+3\thinspace g\left(\alpha^{2}\beta x\right)+3\thinspace g\left(\alpha\beta^{2}x\right)+g\left(\beta^{3}x\right)\end{eqnarray*}$

Moi, ça m’évoque franchement quelque chose de connu … pas vous ?

Considérer un ensemble de cardinal 3n et compter de deux manières le nombre de parties de cardinal n.

$F$ est la somme de deux endomorphismes de $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ qui commutent ! Il ne reste plus qu’à trouver lesquels …

Observer qu’il existe, parmi les entiers $n, n-1, \ldots, n-p+1$ un multiple de $p$ et un seul, que l’on peut noter $n-i$ , pour un certain $i\in\{0,\ldots,p-1\}$ .

Vérifier alors que :

$\left\lfloor \frac{n}{p}\right\rfloor =\frac{n-i}{p}$

puis trouver deux entiers $A,B$ vérifiant :

$A\binom{n}{p}=B\frac{n-i}{p}$

et tels qu’aucun d’eux ne soit multiple de $p$ .

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