Solution pour le challenge n° 62

Solution pour le challenge 62

La réponse est non. Pour le voir, considérons la suite définie par :

$\forall n\in\mathbb{N},\thinspace x_{n}=\left(-1\right)^{n}\sqrt{n}$

et posons donc :

$y_{n}=\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n}\left(-1\right)^{k}\sqrt{k}$

pour tout $n\in\mathbb{N}$ .

Alors :

$\begin{eqnarray*}&&2n\thinspace y_{2n-1}\\& = & \sum_{k=0}^{n-1}\left(\sqrt{2k}-\sqrt{2k+1}\right)\\ & = & -\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{2k}+\sqrt{2k+1}} \end{eqnarray*}$

Or :

$\frac{1}{\sqrt{2k}+\sqrt{2k+1}}\sim\frac{1}{2\sqrt{2k}}$

donc d’après la règle de sommation des équivalents (cas de divergence) :

$\begin{eqnarray*}&&2n\thinspace y_{2n-1}\\&\sim&-\frac{1}{2\sqrt{2}}\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{k}}\\&\sim&-\sqrt{\frac{n}{2}}\end{eqnarray*}$

Puis :

$\begin{eqnarray*}&&\left(2n+1\right)y_{2n}\\&=&2n\thinspace y_{2n-1}+\sqrt{2n}\\&\sim&\left(\sqrt{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\sqrt{n}\\&=&\sqrt{\frac{n}{2}\end{eqnarray*}$

Bref :

$\boxed{y_{n}\sim\frac{\left(-1\right)^{n}}{2\sqrt{n}}}$

En particulier, la suite $y$ converge (vers 0) bien que la suite $x$ soit non bornée.

Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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