Solution pour le challenge n° 25

Solution pour le challenge 25

Les repunits sont les nombres de la forme :

$\boxed{u_{n}=\frac{10^{n}-1}{9}\quad\text{avec }n\in\mathbb{N}^{\star}}$

Les polynômes $P$ cherchés sont donc ceux vérifiant :

$\displaystyle{\boxed{\forall n\in\mathbb{N}^{\star},\thinspace\exists m\in\mathbb{N}^{\star};\thinspace P\left(\frac{10^{n}-1}{9}\right)=\frac{10^{m}-1}{9}\quad\left(\spadesuit\right)}}$

Soit $P$ un tel polynôme et soit $Q$ défini par $Q=9\thinspace P\left(\frac{X-1}{9}\right)+1$ . Alors :

$\boxed{\forall n\in\mathbb{N}^{\star},\thinspace\exists m\in\mathbb{N}^{\star};\thinspace Q\left(10^{n}\right)=10^{m}\quad\left(\clubsuit\right)}$

$Q$ n’est donc pas le polynôme nul. Notons $d$ son degré et $a$ son coefficient dominant ( $d\in\mathbb{N}$ et $a\in\mathbb{R}^{\star}).$

On sait que :

$\lim_{t\rightarrow+\infty}\frac{Q\left(t\right)}{t^{d}}=a$

En particulier, la suite $\left(\frac{Q\left(10^{n}\right)}{10^{nd}}\right)_{n\geqslant1}$ converge vers $a.$ Mais d’après $\left(\clubsuit\right),$ cette suite est à termes dans l’ensemble $D=\left\{ 10^{k};\thinspace k\in\mathbb{Z}\right\} .$

Il s’ensuit que $a\in\overline{D}=D\cup\left\{ 0\right\} .$ Et comme $a\neq0,$ il existe $h\in\mathbb{Z}$ tel que $a=10^{h}.$

En outre, 0 étant le seul point d’accumulation de $D,$ la suite $\left(\frac{Q\left(10^{n}\right)}{10^{nd}}\right)_{n\geqslant1}$ est stationnaire : il existe $n_{0}\in\mathbb{N}^{\star}$ tel que

$\forall n\geqslant n_{0},\thinspace\frac{Q\left(10^{n}\right)}{10^{nd}}=10^{h}$

Mais alors le polynôme $Q-10^{h}X^{d}$ possède une infinité de racines (les $10^{n}$ pour tout entier $n\geqslant n_{0})$ : c’est donc le polynôme nul.

Comme :

$P=\frac{1}{9}\left[Q\left(9X+1\right)-1\right]$

on conclut que $P$ est nécessairement de la forme suivante :

$P=\frac{1}{9}\left[10^{h}\left(9X+1\right)^{d}-1\right]$

avec $h\in\mathbb{Z}$ et $d\in\mathbb{N}.$

Réciproquement, si $P$ est de cette forme, la condition $\left(\spadesuit\right)$ est-elle bien remplie ? Il faut que l’on ait :

$\forall n\in\mathbb{N}^{\star},\:\frac{10^{nd+h}-1}{9}\in\mathcal{R}$

(où $\mathcal{R}$ désigne l’ensemble des repunits) c’est-à-dire :

$\forall n\in\mathbb{N}^{\star},\thinspace nd+h\geqslant1$

ou encore :

$h\geqslant1-d$

En conclusion, les polynômes à coefficients réels laissant stable l’ensemble des repunits sont les :
$\displaystyle{P=\frac{1}{9}\left[10^{h}\left(9X+1\right)^{d}-1\right]}$
avec $d,n$ entiers tels que $d\geqslant0$ et $h\geqslant1-d$ .