Solution pour le challenge n° 21

Solution pour le challenge 21

Si $p,q\in\mathbb{N}$ sont tels que $p\leqslant q,$ alors

$\begin{eqnarray*}& &\left(2p+1\right)\left(2q+1\right)\\&=&\sum_{i=-p}^{p}\left(2q+2i+1\right)\end{eqnarray*}$

En effet, cette somme peut s’écrire sous la forme $A+B,$ avec :

$A=\sum_{i=-p}^{p}\left(2q+1\right)$

$B=\sum_{i=-p}^{p}2i$

or, d’une part, $A=\left(2p+1\right)\left(2q+1\right)$ car c’est la somme de $2p+1$ termes tous égaux à $2q+1$ et, d’autre part, $B=0$ comme on le voit en isolant le terme nul et en regroupant chacun des autres avec son opposé.

Ceci prouve l’existence d’une telle écriture.

Il n’y a pas unicité, comme on le voit avec l’exemple suivant :

$\begin{eqnarray*}45 & = & 13+15+17\\& = & 5+7+9+11+13\end{eqnarray*}$

Maintenant, si $M\leqslant N$ sont deux nombres premiers impairs, l’écriture est unique. En effet, la relation :

$MN=\sum_{i=m}^{n}\left(2i-1\right)$

s’écrit :

$n^{2}-\left(m-1\right)^{2}=MN$

ou encore : $\left(n-m+1\right)\left(n+m-1\right)=MN$ , ce qui impose (les entiers $M$ et $N$ étant premiers et le plus petit étant $M$ ) :

$\left(\star\right)\left\{ \begin{array}{ccc}n-m+1 & = & 1\\\\n+m-1 & = & MN\end{array}\right.$

$\left(\star\star\right)\left\{ \begin{array}{ccc}n-m+1 & = & M\\\\n+m-1 & = & N\end{array}\right.$

mais le cas $\left(\star\right)$ est exclu puisqu’il entraînerait $m=n$ et donc $MN=1,$ ce qui est absurde.

La seule possibilité est donc donnée par $\left(\star\star\right)$ , qui entraîne :

$\left\{ \begin{array}{ccc}m & = & \frac{N-M+2}{2}\\\\n & = & \frac{N+M}{2}\end{array}\right.$

L’unicité de l’écriture de $MN$ comme somme d’entiers impairs consécutifs est établie.

Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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