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Solution pour le challenge 14

Considérons un nombre de 5 chiffres et notons S la somme de ses chiffres.

Si tous les chiffres sont inférieurs ou égaux à 8, alors S\leqslant5\times8=40.

Donc, pour que l’on ait S=43, il est nécessaire que l’un au moins des chiffres soit 9.

➭ La somme des 4 chiffres restants est alors 34.

Si chacun de ces 4 chiffres est inférieur ou égal à 8, alors leur somme est majorée par 4\times8=32. Il est donc nécessaire que l’un d’eux au moins soit 9.

➭ La somme des 3 chiffres restants est alors 25.

Si chacun de ces 3 chiffres est inférieur ou égal à 8, alors leur somme est majorée par 3\times8=24. Il est donc nécessaire que l’un d’eux au moins soit 9.

➭ La somme des 2 chiffres restants est alors 16.

Tout ceci laisse seulement deux possibilités pour ces deux derniers chiffres :

• soit 8 et 8,
• soit 9 et 7.

Finalement les cinq chiffres doivent être :

➭ ou bien 9, 9, 9, 9, 7 :
\boxed{5} possibilités (on choisit la position du 7)

➭ ou bien 9, 9, 9, 8, 8 :
\binom{5}{2}=\boxed{10} possibilités (on choisit les positions des deux 8)

Dressons cette courte liste de 15 nombres. Les multiples de 11 sont indiqués en rouge :

99997, 99979, 99799, 97999, 79999.

99988, 99898, 98998, 89998, 99889, 98989, 89989, 98899, 89899, 88999.

La probabilité demandée est donc :

    \[\boxed{p=\frac{1}{5}}\]

Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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