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Question

Je sais prouver par récurrence que :

    \[\forall n\in\mathbb{N}^\star,\quad\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\]

Mais comment se douter de la réponse si elle ne nous est pas donnée par l’énoncé ?

Réponse

Bonne question ! Pour établir une propriété par récurrence, encore faut-il savoir quelle est cette propriété…

Voici une méthode astucieuse (mais très classique) qui a en outre le mérite de se généraliser. On introduit la somme :

    \[Q_n=\sum_{k=1}^{n}\left[(k+1)^3-k^3\right]\]

et on la calcule de deux façons.
D’une part, il s’agit d’une sommation télescopique, ce qui signifie que les termes se simplifient mutuellement, à l’exception :

  • du terme (k+1)^3 pour k=n
  • et du terme -k^3 pour k=1.

Ainsi :

    \[Q_n=(n+1)^3-1\]

D’autre part, on peut développer le terme général de cette somme : (k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1. Il s’ensuit que :

    \[Q_n=3\sum_{k=1}^nk^2+3\sum_{k=1}^nk+\sum_{k=1}^n1=3\sum_{k=1}^nk^2+\frac{3n(n+1)}2+n\]

En confrontant les deux formules obtenues, il apparaît que :

    \[\sum_{k=1}^nk^2=\frac13\left[(n+1)^3-1-\frac{3n(n+1)}2-n\right]\]

et il ne reste plus qu’à simplifier ceci (en commençant par mettre n+1 en facteur) pour obtenir la formule :

    \[\boxed{\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6}\]

Pour approfondir la question, je vous suggère cette vidéo.

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