Lettre U

UNIFORME (convergence)

Définitions & Vocabulaire

Etant donné un ensemble $X,$ considérons :

une suite $\left(f_{n}\right)_{n\geqslant0}$ d’applications de $X$ dans $\mathbb{C}$
une application $g:X\rightarrow\mathbb{C}$
une partie non vide $A$ de $X$

➣ On dit que la suite $\left(f_{n}\right)_{n\geqslant0}$ converge uniformément sur $A$ vers $g$ lorsque :

$\boxed{\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{x\in A}\left|f_{n}\left(x\right)-g\left(x\right)\right|=0}$

c’est-à-dire lorsque :

$\forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N};\forall n\in\mathbb{N},\left(n\geqslant N\right)\Rightarrow\left(\forall x\in A,\thinspace\left|f_{n}\left(x\right)-g\left(x\right)\right|\leqslant\epsilon\right)$

➣ On dit que la suite $\left(f_{n}\right)_{n\geqslant0}$ converge simplement sur $A$ vers $g$ lorsque :

$\boxed{\forall x\in A,\thinspace\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}\left(x\right)=g\left(x\right)}$

Il est évident que si $\left(f_{n}\right)_{n\geqslant0}$ converge uniformément sur $A$ vers $g$ , alors $\left(f_{n}\right)_{n\geqslant0}$ converge simplement sur $A$ vers $g$ . La réciproque est fausse (voir ci-dessous).

On peut généraliser ces notions en remplaçant $\mathbb{C}$ par un $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}-$ espace vectoriel normé et les modules par des normes.

On peut essayer d’interpréter géométriquement la notion de convergence uniforme :

Illustration dynamique

On a représenté en rouge le graphe de :

$f_{n}:\left[0,a\right]\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto\frac{x^{2}}{4}+x^{n}$

où le réel $a$ varie dans $\left[\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right].$

Le graphe de $g:\left[0,a\right]\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto\frac{x^{2}}{4}$ apparaît en bleu.

Le fuseau limité par les graphes de $g-\epsilon$ et de $g+\epsilon$ est représenté en vert.

La droite d’équation $x=1$ est dessinée en pointillés.

Les trois sliders permettent de choisir les valeurs de $a,$ de $\epsilon$ et de $n.$

Pour $a<1$ et pour $\epsilon>0$ fixé, on constate que, dès que $n$ est assez grand, le graphe de $f_{n}$ est entièrement compris dans le fuseau limité par les graphes de $g-\epsilon$ et de $g+\epsilon.$ Ceci illustre le fait que la suite $\left(f_{n}\right)_{n\geqslant0}$ converge uniformément vers $g.$

Si $a>1,$ la suite de terme général

$\sup_{x\in\left[0,a\right]}\left|f_{n}\left(x\right)-g\left(x\right)\right|=\sup_{x\in\left[0,a\right]}x^{n}=a^{n}$

diverge vers $+\infty.$ Enfin, si $a=1,$ cette suite est constante (égale à 1).

En pratique, pour établir la convergence uniforme de $\left(f_{n}\right)$ vers $g$ sur $A,$ il suffit de majorer (pour tout $x\in A)$ l’écart $\left|f_{n}\left(x\right)-g\left(x\right)\right|$ par une quantité indépendante de $x$ et qui tend vers 0 lorsque $n\rightarrow+\infty.$

Exemple

La suite d’applications

$f_{n}:\left[0,+\infty\right[\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto\frac{nx^{2}}{1+nx}$

converge uniformément sur $\left[0,+\infty\right[$ vers :

$g:\left[0,+\infty\right[\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto x$

En effet, pour tout $x\in\left[0,+\infty\right[$ et pour tout $n\in\mathbb{N}^{\star}$ :

$\begin{eqnarray*}0\leqslant g\left(x\right)-f_{n}\left(x\right) & = & \frac{x}{1+nx}\leqslant\frac{1}{n}\end{eqnarray*}$

La convergence simple n’implique pas la convergence uniforme.

Exemple

La suite d’applications

$f_{n}:\left[0,1\right]\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto nx^{n}\left(1-x\right)$

converge simplement sur $\left[0,1\right]$ vers l’application nulle, mais non uniformément car :

$\sup_{x\in\left[0,1\right]}nx^{n}\left(1-x\right)=\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n+1}\rightarrow\frac{1}{e}$

Supposons désormais que $I$ soit un intervalle de $\mathbb{R}$ (de longueur non nulle) et que $\left(f_{n}\right)_{n\geqslant0}$ soit une suite d’applications de $I$ dans $\mathbb{R},$ qui converge simplement sur $I$ vers $g.$

Si les $f_{n}$ partagent une propriété commune, il est naturel de chercher à savoir si cette propriété est aussi vérifiée par $g.$ C’est le cas pour :

la positivité,
la croissance,
la convexité.

Ce n’est pas le cas – en général – pour :

le caractère bornée,
la continuité en $a\in I$ donné, la continuité tout court,
l’uniforme continuité.

Mais si la convergence est uniforme, alors $g$ hérite de chacune des trois propriétés ci-dessus. En outre, on peut citer le :

Théorème

si $I$ est un segment $\left[a,b\right],$ si chaque $f_{n}$ est continue et si la suite $\left(f_{n}\right)$ converge uniformément vers $g,$ alors ( $g$ est continue et) :

$\int_{a}^{b}g\left(t\right)\thinspace dt=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{a}^{b}f_{n}\left(t\right)\thinspace dt$

Il existe aussi des propriétés qui ne passent pas à la limite uniforme. C’est le cas de la dérivabilité en un point donné de l’intervalle $I.$

Exemple

Pour tout $n\in\mathbb{N}^{\star}$ l’application

$\varphi_{n}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto\sqrt{x^{2}+\frac{1}{n}}$

La suite $\left(\varphi_{n}\right)_{n\geqslant1}$ converge uniformément sur $\mathbb{R}$ vers $x\mapsto\left|x\right|,$ qui n’est pas dérivable en $0$ bien que chaque $\varphi_{n}$ le soit (pour tout $n\in\mathbb{N}^{\star},$ $\varphi_{n}$ est dérivable et même de classe $C^{\infty}).$

La convergence uniforme est justifiée par le fait que, pour tout $x\in\mathbb{R}$ et pour tout $n\in\mathbb{N}^{\star}$ :

$\begin{eqnarray*}\sqrt{x^{2}+\frac{1}{n}}-\left|x\right| & = & \frac{1}{n\left(\sqrt{x^{2}+\frac{1}{n}}+\left|x\right|\right)}\\& \leqslant & \frac{1}{\sqrt{n}}\end{eqnarray*}$

Partager cet article