Lettre J

JENSEN (inégalité de)

Soit $I$ un intervalle non trivial et soit $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ une application convexe. Alors :

Théorème

Soit un entier $n\geqslant2,$ ainsi que $\left(x_{1},\cdots,x_{n}\right)\in I^{n}$ et $\left(t_{1},\cdots,t_{n}\right)\in\left[0,1\right]^{n}$ tel que $\sum_{k=1}^{n}t_{k}=1$ . Alors :

$f\left(\sum_{k=1}^{n}t_{k}x_{k}\right)\leqslant\sum_{k=1}^{n}t_{k}\thinspace f\left(t_{k}\right)$

Cette inégalité est attribuée au mathématicien danois Johan Jensen (1859 – 1925).

La preuve se fait par récurrence. Pour $n=2,$ c’est la définition de la convexité. En supposant le résultat établi au rang $n,$ pour un certain $n\geqslant2,$ on se donne $x_{1},\cdots,x_{n+1}\in I$ et $t_{1},\cdots,t_{n+1}\geqslant0$ tels que $\sum_{k=1}^{n+1}t_{k}=1.$ Si $t_{n+1}=1,$ alors $t_{k}=0$ pour tout $k\in\left\llbracket 1,n\right\rrbracket$ et il n’y a rien à démontrer. Et si $t_{n+1}\neq1,$ alors en posant ${\displaystyle T=\sum_{k=1}^{n}t_{k}},$ on voit que $T\neq0$ et que :

$\sum_{k=1}^{n+1}t_{k}x_{k}=T\sum_{k=1}^{n}\dfrac{t_{k}}{T}\thinspace x_{k}+\left(1-T\right)x_{n+1}$

d’où, par convexité de $f$ :

$f\left(\sum_{k=1}^{n+1}t_{k}x_{k}\right)\leqslant T\thinspace f\left(\sum_{k=1}^{n}\dfrac{t_{k}}{T}\thinspace x_{k}\right)+\left(1-T\right)\thinspace f\left(x_{n+1}\right)$

puis, d’après l’hypothèse de récurrence :

$\begin{eqnarray*}f\left(\sum_{k=1}^{n+1}t_{k}x_{k}\right) & \leqslant & T\thinspace\sum_{k=1}^{n}\dfrac{t_{k}}{T}\thinspace f\left(x_{k}\right)+\left(1-T\right)\thinspace f\left(x_{n+1}\right)\\& = & \sum_{k=1}^{n}t_{k}\thinspace f\left(x_{k}\right)+t_{n+1}\thinspace f\left(x_{n+1}\right)\\& = & \sum_{k=1}^{n+1}t_{k}\thinspace f\left(x_{k}\right)\end{eqnarray*}$

comme souhaité.

On appelle aussi inégalité de Jensen la version continue de ce qui précède :

Théorème

Soit $u:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}$ une application continue. On suppose que $I$ est un intervalle non trivial, que $u\left\langle \left[a,b\right]\right\rangle \subset I$ et que $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ est convexe. Alors :

$f\left(\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b}u\left(t\right)\thinspace dt\right)\leqslant\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f\circ u\left(t\right)\thinspace dt$

Exercice pour le lecteur : déduire cette inégalité de la version discrète énoncée plus haut, en utilisant le théorème de convergence des sommes de Riemann.

JORDAN (matrice de)

Etant donné un entier $n\geqslant1,$ on appelle matrice (ou cellule) de Jordan de taille $n$ la matrice $J_{n}=\left[\delta_{i+1,j}\right]_{1\leqslant i,j\leqslant n}$ , considérée comme élément de l’algèbre $\mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{K}\right)$ .

Les termes de cette matrice sont donc tous nuls, à l’exception de ceux situés sur la « sur-diagonale », qui valent 1. Ci-dessous les matrices $J_{2}$ et $J_{5}$ :

$J_{2}=\left[\begin{array}{cc}0 & 1\\0 & 0\end{array}\right]\qquad J_{5}=\left[\begin{array}{ccccc}0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]$

L’endomorphisme $f\in\mathcal{L}\left(\mathbb{K}^{n}\right),$ canoniquement associé à $J_{n},$ est défini par :

$f\left(e_{1}\right)=0\qquad\text{et}\qquad\forall j\in\left\llbracket 2,n\right\rrbracket ,\thinspace f\left(e_{j}\right)=e_{j-1}$

où $\left(e_{1},\cdots,e_{n}\right)$ désigne la base canonique de $\mathbb{K}^{n}.$ Il est facile de voir que si $E$ est un $\mathbb{K}-$ espace vectoriel de dimension $n\geqslant2$ et si $f\in\mathcal{L}\left(E\right)$ est nilpotent d’indice $n$ (ce qui signifie que $f^{n}=0$ et $f^{n-1}\neq0),$ alors il existe une base de $E$ dans laquelle $f$ est représenté par $J_{n}.$ Ceci se généralise :

Théorème (réduction de Jordan – cas nilpotent)

Si $E$ est un $\mathbb{K}-$ espace vectoriel de dimension $n\geqslant2$ et si $f\in\mathcal{L}\left(E\right)$ est nilpotent, alors il existe une base de $E$ dans laquelle $f$ est représenté par une matrice diagonale par blocs, chaque bloc étant une matrice de Jordan.

Une conséquence est l’important théorème suivant :

Théorème (réduction de Jordan – cas général)

Soit $E$ est un $\mathbb{K}-$ espace vectoriel de dimension $n\geqslant2$ et soit $f\in\mathcal{L}\left(E\right)$ dont le polynôme caractéristique est scindé. Alors il existe une base de $E$ dans laquelle $f$ est représenté par une matrice diagonale par blocs, chaque bloc étant de la forme $\lambda I_{k}+J_{k},$ où $\lambda$ est une valeur propre de $f.$

Le second théorème se démontre à partir du premier de la manière suivante. On note $\chi$ le polynôme caractéristique de $f.$ Comme $\chi$ est scindé dans $\mathbb{K}\left[X\right],$ il en va de même du polynôme minimal de $f,$ noté $\mu_{f}.$ On peut donc écrire :

$\mu_{f}=\prod_{i=1}^{p}\left(X-\lambda_{i}\right)^{r_{i}}$

où $\lambda_{1},\cdots,\lambda_{p}\in\mathbb{K}$ sont les valeurs propres distinctes de $f.$
Le lemme de décomposition des noyaux donne
$E=\bigoplus_{i=1}^{p}N_{i},$ où les $N_{i}$ sont les sous-espaces caractéristiques de $f$ :

$\forall i\in\left\llbracket 1,p\right\rrbracket ,\thinspace N_{i}=\ker\left[\left(f-\lambda_{i}\thinspace id_{E}\right)^{r_{i}}\right]$

On peut montrer que, pour tout $i\in\left\llbracket 1,p\right\rrbracket$ :

la restriction de $f-\lambda_{i}\thinspace id_{E}$ à $N_{i}$ est nilpotente d’indice $r_{i},$
la dimension de $N_{i}$ est égale à la multiplicité $m_{i}$ de $\lambda_{i}$ en tant que racine de $\chi.$

Il existe donc, d’après le premier théorème, une base de $N_{i}$ dans laquelle la restriction de $f$ est représentée par une matrice diagonale par blocs, chaque bloc étant de la forme $\lambda_{i}I_{k}+J_{k}.$ Il ne reste plus qu’à concaténer ces bases, ce qui fournit une base de $E$ dans laquelle la matrice de $f$ possède la forme voulue.

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