Indications pour démarrer les exercices sur les sommes de Riemann (fiche 02).
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exercice 1 facile

On peut écrire k^{\alpha} sous la forme n^{\alpha}\thinspace\left(\dfrac{k}{n}\right)^{\alpha}.

exercice 2 facile

On peut écrire {\displaystyle \dfrac{n+k}{n^{2}+k^{2}}} sous la forme {\displaystyle \dfrac{1}{n}\thinspace\dfrac{1+\frac{k}{n}}{1+\frac{k^{2}}{n^{2}}}}.

La somme {\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\sin\left(\dfrac{k\pi}{n}\right)} peut être vue comme la partie imaginaire de {\displaystyle \sum_{k=1}^{n}e^{ik\pi/n}.}

L’inégalité de Jensen « discrète » permet d’écrire une inégalité entre sommes de Riemann. On passe ensuite à la limite dans cette inégalité.

Appliquer la formule de Taylor-Lagrange à l’ordre 2 à F:x\mapsto\int_{0}^{x}f\left(t\right)\thinspace dt sur le segment \left[\dfrac{k-1}{n},\dfrac{k}{n}\right].

g\left(\dfrac{k+1}{n}\right) n’est pas très éloigné de g\left(\dfrac{k}{n}\right) … On devine que la limite demandée doit être \int_{0}^{1}f\left(t\right)\thinspace g\left(t\right)\thinspace dt.

On peut commencer par écrire :

    \[\dfrac{k}{n}=\left(1-\dfrac{k}{n}\right)\dfrac{k}{n+1}+\dfrac{k}{n}\thinspace\dfrac{k+1}{n+1}\]

puis invoquer la convexité de f.

Lorsque n est grand, on imagine que sur la plupart des intervalles \left[x_{k,n},\thinspace x_{k+1,n}\right], la fonction f n’a guère le temps de changer de signe. Si tel est le cas :

    \[\left|\int_{x_{k,n}}^{x_{k+1,n}}f\left(t\right)\thinspace dt\right|=\int_{x_{k,n}}^{x_{k+1,n}}\left|f\left(t\right)\right|\thinspace dt\]

exercice 9 difficile

Changer de variable pour montrer la convergence de l’intégrale \int_{0}^{1}\dfrac{1}{x}\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)\thinspace dx. Ensuite, pour montrer la divergence de la suite \left(S_{n}\right)_{n\geqslant1}, on peut essayer de montrer que la suite \left(S{n+1}-S_{n}\right)_{n\geqslant1} ne converge pas vers 0.

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