Indications - Exercices sur les intégrales impropres - 01

➡ Pour $A$ : trouver un équivalent en 0 et calculer la limite en 1.

➡ Pour $B$ : montrer la convergence absolue.

➡ Pour $C$ : trouver des équivalents en 0 et en 1.

➡ Pour $D$ : réviser la nature de l’intégrale (dite de Dirichlet) $\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin\left(t\right)}{t}\thinspace dt$ puis linéariser $\sin^{3}\left(t\right).$

➡ Pour $E$ : la fonction est prolongeable par continuité en 0. En $+\infty,$ la règle des équivalents n’est pas applicable, mais on peut effectuer un développement asymptotique.

➡ Pour $F$ : trouver un équivalent en $-2,$ après avoir factorisé le polynôme $t^{3}+8.$

Raisonner par l’absurde.

Si par exemple $f$ admettait en $+\infty$ une limite $L>0,$ quelle serait alors la limite de l’intégrale partielle $\int_{0}^{x}f\left(t\right)\thinspace dt$ lorsque $x\rightarrow+\infty$ ?

Intégrer par parties et raisonner par récurrence.

Comme $a>1,$ l’application $\left[a,+\infty\right[\rightarrow\mathbb{R},\thinspace t\mapsto\frac{1}{t^{\alpha}\ln^{\beta}\left(t\right)}$ est continue. Dans les cas où $\alpha\neq1,$ la comparer à une fonction du type $t\mapsto\frac{1}{t^{\gamma}}$ au voisinage de $+\infty.$ Dans le cas $\alpha=1,$ effectuer une comparaison avec l’intégrale de $t\mapsto\frac{1}{t\ln^{\beta}\left(t\right)}.$

On peut deviner la limite de la suite $\left(I_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ en dessinant la forme de la courbe de la fonction $\left[0,1\right]\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto x^{n}$ pour $n$ grand.

Pour montrer que $\lim_{n\rightarrow\infty}J_{n}=0,$ un simple encadrement de $J_{n}$ devrait faire l’affaire.

Enfin, pour déterminer la nature de la série de terme général $J_n$ , je vous suggère d’établir une inégalité et d’appliquer le principe de comparaison … mais c’est à vous de décider s’il faut chercher à majorer ou bien à minorer $J_n$ 😉

La majoration classique $1+t\leqslant e^{t},$ est la clef pour établir l’encadrement demandé.

Ensuite, le changement de variable $t=\sqrt{n}\sin\left(\theta\right)$ dans l’intégrale $\int_{0}^{\sqrt{n}}\left(1-\frac{t^{2}}{n}\right)^{n}\thinspace dt$ fait apparaître une intégrale de Wallis.

Il reste à trouver un « bon » changement de variable pour l’autre intégrale.

L’idée sous-jacente est très géométrique !

Observer que l’intégrale partielle $\int_{0}^{n}f\left(t\right)\thinspace dt$ est égale à la somme partielle $\sum_{k=1}^{n}a_{k}.$

Ceci montre l’existence d’une limite finie pour $\int_{0}^{n}f\left(t\right)\thinspace dt$ lorsque l’entier $n$ tend vers $+\infty.$

Il restera à trouver comment faire pour en dire autant de $\int_{0}^{x}f\left(t\right)\thinspace dt$ lorsque le réel $x$ tend vers $+\infty$ .

Enfin, pour montrer que $f$ n’admet pas de limite en $+\infty,$ penser à la caractérisation séquentielle de la limite …

Le théorème de dérivation sous le signe $\int$ donne immédiatement la positivité de $\Gamma''.$ On peut aussi (plus élémentaire) revenir à la définition de la convexité et montrer que :

$\Gamma\left(\left(1-\alpha\right)x+\alpha y\right)\leqslant\left(1-\alpha\right)\Gamma\left(x\right)+\alpha\Gamma\left(y\right)$

pour tout $\alpha\in\left]0,1\right[$ et pour tout $\left(x,y\right)\in\left]0,+\infty\right[^{2}.$

Observer que l’on peut écrire :

$t^{\left(1-\alpha\right)x+\alpha y-1}e^{-t}=\left(t^{x-1}e^{-t}\right)^{1-\alpha}\left(t^{y-1}e^{-t}\right)^{\alpha}$

et penser à la concavité du logarithme.

Ensuite, il s’agit de montrer que $\left(\ln\circ\Gamma\right)''\geqslant0.$ Dériver sous le signe $\int$ et penser à l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

Notons $\mathcal{C}$ le graphe de $f.$ Pour tout $n\geqslant1$ et pour tout $x\in\left]0,1\right],$ comparer les pentes des trois cordes dont les extrémités sont :

les points d’abscisses $n$ et $n+1$
les points d’abscisses $n+1$ et $n+x+1$
les points d’abscisses $n+1$ et $n+2$

Utiliser l’encadrement obtenu pour montrer que :

$0\leqslant\ln\left(f\left(x\right)\right)-\ln\left[\frac{n!\,n^{x}}{x\left(x+1\right)\cdots\left(x+n\right)}\right]\leqslant x\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)$

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