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exercice 1 facile

Conjecturer puis raisonner par récurrence.

exercice 2 facile

Vérifier que 9\mid B_{5} puis raisonner par récurrence au-delà.

exercice 3 facile

Si X_{n}>0 pour tout n\geqslant1 et si {\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{X_{n+1}}{X_{n}}=\lambda}>0, alors {\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\left(X_{n}\right)^{1/n}=\lambda.}

Si ce résultat n’est pas déjà connu, commencer par l’établir.

On peut voir le rationnel F/P comme le produit de plusieurs coefficients binomiaux.

Commencer par vérifier que si a,b\geqslant2 alors a+b\leqslant ab.

Pour la suite, constater que, pour tout couple \left(p,q\right) d’entiers naturels :

    \[p\leqslant q\Leftrightarrow p!\mid q!\]

Pour le premier point, utiliser la formule du pion.

Ensuite, fixer b\in\mathbb{N} puis raisonner par récurrence sur a.

On peut raisonner par récurrence (ce n’est pas tout à fait évident, mais c’est faisable).

Plus élégant (et plus astucieux) : regrouper, dans le membre de gauche, les facteurs k et 2n-k pour tout k\in\left\llbracket 1,n-1\right\rrbracket et majorer t\left(2n-t\right) pour t\in\left[0,n\right].

Se servir du fait que, pour tout n\in\mathbb{N}^{\star} :

    \[v_{2}\left(n!\right)=n-s\left(n\right)\]

où s\left(n\right) désigne le nombre de chiffres binaires de n.

Cette formule découle de la formule de Legendre.

exercice 9 difficile

Utiliser la formule de Legendre pour montrer que, pour tout p\in\mathbb{P}, la valuation p-adique du rationnel :

    \[\frac{\left(30n\right)!\thinspace n!}{\left(15n\right)!\thinspace\left(10n\right)!\thinspace\left(6n\right)!}\]

est positive.

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