Solution pour le challenge n° 93

Solution pour le challenge 93

On développe :

$\begin{eqnarray*}\left(ab+bc+ca\right)^{3} & = & a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}+c^{3}a^{3}\\& & \thinspace+3ab^{2}c^{3}+3ab^{3}c^{2}+3a^{2}bc^{3}+3a^{2}b^{3}c+3a^{3}bc^{2}+3a^{3}b^{2}c\\& & \thinspace+6a^{2}b^{2}c^{2}\end{eqnarray*}$

et :

$\begin{eqnarray*}\left(a+b+c\right)^{3} & = & a^{3}+b^{3}+c^{3}\\& & \thinspace+3ab^{2}+3a^{2}b+3bc^{2}+3b^{2}c+3ac^{2}+3a^{2}c\\& & \thinspace+6abc\end{eqnarray*}$

L’hypothèse devient ainsi :

$a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}+c^{3}a^{3}-a^{4}bc-ab^{4}c-abc^{4}=0$

Et c’est là que ce n’est pas évident. Il se trouve que le membre de gauche se factorise ! On obtient la condition équivalente :

$\left(ab-c^{2}\right)\left(bc-a^{2}\right)\left(ca-b^{2}\right)=0$

ce qui permet de conclure.

Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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