icone-math-OS-Exos

u n’est pas une application car b possède deux images.

v est une application surjective (tous les éléments de l’ensemble d’arrivée sont atteints) mais non injective (un élément est atteint plus d’une fois).

w est une application injective (aucun élément n’est atteint plus d’une fois) mais non surjective (un élément n’est pas atteint).

f n’est pas une application car d n’a pas d’image (mais c’est une fonction, dont l’ensemble de définition est \{a,b,c,e\}.

g est une application injective et surjective, autrement dit une bijection.

h est une application qui n’est ni injective (a possède deux antécédents) ni surjective(c n’en admet aucun).

f est une application car tout entier naturel non nul n possède une image et une seule dans \mathbb{N} (en effet 3n-2\in\mathbb{N}). Elle est injective car si n,p\in \mathbb{N}^\star vérifient 3n-2=3p-2, alors n=p. Elle n’est pas surjective car 2 n’admet pas d’antécédent.

• Pour tout n\in\mathbb{N} :

    \[ g(g(n))=g(n)+(-1)^{g(n)}=n+(-1)^n+(-1)^{n+(-1)^n}=n \]

car les entiers n et n+(-1)^n sont de parités contraires. Il en résulte que g est une involution et, en particulier, une bijection.

h est un application non surjective puisque, pour tout n\in\mathbb{N}^\star, l’entier n^2-n=n(n-1) est pair (et les entiers naturels impairs ne sont donc pas atteints par h). Elle est cependant injective puisque, si n,p\in\mathbb{N}^\star sont tels que n^2-n=p^2-p, alors (n-p)(n+p-1)=0 d’où n=p ou n+p=1, mais l’égalité n+p=1 est impossible puisque dans ce contexte n+p\geqslant2.

u est une bijection, car tout réel y possède un unique antécédent par u, à savoir \frac13(y+2).

v est surjective. En effet, d’après la relation \forall x\in\mathbb{R},\,v(x)\geqslant x-1, on voit que \lim_{x\to+\infty}v(x)=+\infty et d’après la relation \forall x\in\mathbb{R},\,v(x)\leqslant x+1, on voit que \lim_{x\to-\infty}v(x)=-\infty; en outre v est continue et donc d’après un corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, tout réel possède au moins un antécédent par v. En revanche, v n’est pas injective. En effet, on constate que v(0)=1, v(1)=0 et v(2)=3; il en résulte (toujours d’après le théorème des valeurs intermédiaires) l’existence de réels a\in]0,1[ et b\in]1,2[ tels que v(a)=v(b)=\frac12.

w n’est ni injective ni surjective. En effet w(0)=w(1) (d’où la non surjectivité) et \forall x\in\mathbb{R},\,w(x)\leqslant\frac14 (d’où la non surjectivité : les réels strictement supérieurs à \frac14 ne possède pas d’antécédent par w).

On observe, en comparant cet exercice au précédent, que le fait d’avoir modifié les ensembles de départ et d’arrivée, tout en conservant la même “formule” pour calculer l’image d’un élément, a modifié les caractéristiques des applications :

→ f était injective et non surjective, tandis que u est bijective.
→ g était bijective, tandis que v est surjective et non injective.
→ h était injective et non surjective, tandis que w n’est ni injective ni surjective.

Etant donné y>0, résolvons dans \mathbb{R} l’équation x+\sqrt{x^2+1}=y, c’est-à-dire \sqrt{x^2+1}=y-x.

Pour x\geqslant y, une telle égalité est impossible. Et pour x<y, elle équivaut à x^2+1=(y-x)^2, c’est-à-dire à 2xy=y^2-1 ou encore x=\frac12\left(y-\frac1y\right).

Comme cette dernière valeur est strictement inférieure à y, on conclut que tout y>0 possède par Q un unique antécédent. Ainsi Q est une bijection et sa réciproque est :

    \[ Q^{-1}:]0,+\infty[\to\mathbb{R},\,y\mapsto\frac12\left(y-\frac1y\right) \]

Comme l’application \ell:]0,+\infty[\to\mathbb{R},\,x\mapsto\ln(x) est une bijection et vu que A=\ell\circ Q, on constate que A est aussi une bijection (composée de deux bijections) et que A^{-1}=Q^{-1}\circ\ell^{-1}, c’est-à-dire :

    \[ A^{-1}:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\,x\mapsto\frac12\left(e^x-e^{-x\right)} \]

Remarque : A^{-1} est la fonction sinus hyperbolique et A est la fonction Argsh (argument sinus hyperbolique).

L’application \varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\,x\mapsto e^x est strictement monotone donc injective. Mais elle n’est pas surjective puisque les réels négatifs ou nuls ne sont pas atteints.

L’application \psi:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\,x\mapsto 2x+\vert x-1\vert-\vert x+1\vert n’est pas injective puisque \psi(-1)=\psi(1). Elle est surjective car pour tout y\in\mathbb{R} :

    \[ y=\left\{\begin{array}{lr}{ \psi\left(\frac y2+1\right) & \textrm{ si }y\geqslant0\\ \\ \psi\left(\frac y2-1\right) & \textrm{ si }y<0 }\end{array}\right \]

L’application

    \[ \mathbb{R}\to\mathbb{R},\,x\mapsto\left\{\begin{array}{lr}{ 0 & \textrm{ si }x-\frac{\pi}{2}\in\pi\mathbb{Z}\\ \\ \tan(x) & \textrm{ sinon} }\end{array}\right \]

est \pi-périodique et surjective (sa restriction à l’intervalle \left]-\frac{\pi}{2},\,\frac{\pi}{2}\right[ l’est déjà).

Considérons les applications u,v:\mathbb{R}\to\mathbb{R} définies par :

    \[ \forall x\in\mathbb{R},\,u(x)=\left\{\begin{array}{lr}{ 2x^2 & \textrm{ si }x<0\\ \\ -x^2 & \textrm{ sinon} }\end{array}\right \qquad\textrm{ et }\qquad v(x)=\left\{\begin{array}{lr}{ -x^2 & \textrm{ si }x<0\\ \\ 2x^2 & \textrm{ sinon} }\end{array}\right \]

Elles sont strictement monotones, donc injectives, et vérifient \forall x\in\mathbb{R},\,u(x)+v(x)=x^2.

C’est faux, comme le montre l’exemple suivant :

    \[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\,x\mapsto\left\{\begin{array}{lr}{ x & \textrm{ si }x\leqslant0 \\ \\ 1/x & \textrm{ sinon} }\end{array}\right \]

Surjectivité

Soit x\in E. Si n\in\mathbb{N}^{\star} est tel que f^{n}\left(x\right)=x, alors f^{n-1}\left(x\right) est un antécédent de x par f.

Injectivité

Soient a,b\in E tels que :

    \[ f\left(a\right)=f\left(b\right)\qquad\qquad(1) \]

Par hypothèse, il existe p,q\in\mathbb{N}^{\star} tels que f^{p}\left(a\right)=a et f^{q}\left(b\right)=b.

En appliquant f^{p-1} à chaque membre de (1), il vient

    \[ a=f^{p}\left(b\right)\qquad\qquad(2) \]

En appliquant f^{q} à chaque membre de (2), il vient : f^{q}\left(a\right)=f^{p+q}\left(b\right)=f^{p}\left(b\right)=a. Or, en appliquant f^{q-1} à chaque membre de (1), il vient

    \[ f^{q}\left(a\right)=b \]

Par conséquent, a=b et f est injective.

Partager cet article
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
Fermer le menu