L’erreur consiste à écrire que le carré de 2x serait 2x^2.
Il s’agit en fait de (2x)(2x) c’est-à-dire 4x^2.

Il s’agit ici d’une erreur de signe. Voici le calcul correct, en détail :

    \begin{eqnarray*} x^2-(6y+1)^2 & = & (x + (6y+1))(x - (6y+1))\cr & = & (x + 6y+1)(x - 6y-1) \end{eqnarray*}

On ne peut simplifier par x que si x\neq 0. Voici à présent une résolution correcte.

L’équation x^2=2x équivaut à x^2-2x=0, c’est-à-dire x(x-2)=0. Or on sait qu’un produit de facteurs (réels) est nul si, et seulement si, l’un au moins des facteurs est nul. Par conséquent l’équation proposée équivaut à : x=0 ou x=2.

• Pour l’équation x^2-4x=0, on procède exactement comme à l’exercice précédent. Les solutions sont 0 et 4.

• Pour 10x-x^2=5x^2+x, on regroupe tous les termes dans un membre, ce qui donne l’équation équivalente 6x^2-9x=0, ou encore (après factorisation par x) : x(6x-9)=0. Finalement, on trouve deux solutions : 0 et \frac32.

• Pour x^2-1=0, on factorise ! L’équation équivaut à (x-1)(x+1)=0 et ses solutions sont -1 et 1.

• Même chose pour l’équation (x+1)^2=9. L’équation s’écrit (x+1)^2-3^2=0, donc se factorise en (x+4)(x-2)=0 et ses solutions sont -4 et 2.

• Même pour (2x+3)^2=(x-4)^2 : on a une différence de deux carrés qui est nulle. On factorise et on aboutit à l’équation équivalente (2x+3-(x-4))(2x+3+x-4)=0, c’est-à-dire (x+7)(3x-1)=0. Les solutions sont -7 et \frac13.

• Enfin l’équation 7x^2+1=0 n’a pas de solution réelle puisque, pour tout x\in\mathbb{R}, on a : 7x^2+1\geqslant 1.

• L’équation 6x-x^2=9 équivaut à x^2-6x+9=0, c’est-à-dire (x-3)^3=0. L’unique solution est 3.

• L’équation 4x^2+4x=1 équivaut à 4x^2+4x-1=0, c’est-à-dire (2x+1)^2-2=0. On factorise, ce qui donne l’équation équivalente (2x+1+\sqrt2)(2x+1-\sqrt2)=0. Les solutions sont donc -1-\sqrt2 et -1+\sqrt2.

• Pour l’équation 5x(x+1)=(x+1)(x+2), surtout ne pas développer ! On factorise plutôt par x+1, ce qui donne l’équation équivalente (x+1)(5x-(x+2))=0, c’est-à-dire (x+1)(4x-2)=0. Les solutions sont donc -1 et 1/2.

• On passe à l’équation (x+3)^2+(x-3)^2=12x. On développe et l’on regroupe les termes dans un seul membre, ce qui donne 2x^2-12x+18=0, c’est-à-dire x^2-6x+9=0. On met cette dernière équation sous la forme (x-3)^2=0 et il apparaît que 3 est la seule solution.

• Enfin, la dernière équation s’écrit (après simplification par 2) : 9x^2-24x+16=0, c’est-à-dire (3x-4)^2=0. Sa seule solution est donc 4/3.

• L’équation x^2+2x-3=0 équivaut à (x+1)^2-4=0 et se factorise sous la forme (x+1+2)(x+1-2)=0, c’est-à-dire (x+3)(x-1)=0. Ses solutions sont donc -3 et 1.

• L’équation 4x^2+x+1=0 peut se mettre sous la forme (2x+\frac14)^2+\frac{15}{16}=0, dont le membre de gauche ne peut s’annuler (il est, pour tout x réel, minoré par \frac{15}{16}). Il n’y a donc aucune solution.

• On transforme l’équation 2x^2-5x+2=0 en divisant chaque membre par 2, puis en faisant apparaître un carré. Elle équivaut ainsi à (x-\frac54)^2-\frac9{16}=0, qui se factorise pour donner (x-2)(x-\frac12)=0. Les solutions sont donc \frac12 et 2.

• Pour l’équation (x-2)^2=x, on développe et on regroupe, pour obtenir l’équation équivalente x^2-5x+4=0, qui peut s’écrire (x-\frac52)^2-\frac94=0, c’est-à-dire (x-\frac52)^2-(\frac32)^2=0. On factorise et on obtient l’équation équivalente (x-4)(x-1)=0. Au final, les solutions sont 1 et 4.

• On transforme l’équation 3x^2-1=4(x+\frac12)^2 en développant le membre de droite puis en regroupant les termes dans un seul membre. Il vient x^2+4x+2=0, que l’on met sous la forme (x+2)^2-2=0. On factorise pour obtenir l’équation équivalente (x+2+\sqrt2)(x+2-\sqrt2)=0. Les solutions sont -2-\sqrt2 et -2+\sqrt2.

• Même méthode pour l’équation (x+1)^2+(x+2)^2=x+3, ce qui donne l’équation équivalente 2x^2+5x+2=0, ou encore x^2+\frac52x+1=0. On met sous forme canonique : (x+\frac54)^2-\frac9{16}=0. Les solutions sont -2 et -\frac12.

Accélérons le tempo, puisque c’est toujours la même chose…

• Pour 3x^2+2x-1=0, les solutions sont -1 et \frac13.

• Pour 7x^2+6x=2, les solutions sont \frac{-3-\sqrt{23}}7 et \frac{-3+\sqrt{23}}7.

• Pour \frac{x^2}7+\frac x6-\frac15=0, les solutions sont \frac72\left(-\frac16-\sqrt{\frac{179}{1260}}\right) et \frac72\left(-\frac16+\sqrt{\frac{179}{1260}}\right)

• Pour l’équation \frac 1x+\frac 1{x+1}=\frac 1{x+3}, on cherche les solutions dans D=\mathbb{R}-\{-3,-1,0\}. En regroupant tous les termes dans un membre et après réduction au même dénominateur (qui est x(x+1)(x+3)), l’équation équivaut à (x+1)(x+3)+x(x+3)-x(x+1)=0, c’est-à-dire x^2+6x+3=0. Le solutions de cette dernière sont -3-\sqrt6 et -3+\sqrt6 (et elles sont acceptées puisqu’elles appartiennent à D).

• L’équation \frac x{2+\frac 1{x-1}}=1-x n’est définie que pour x\in D=\mathbb{R}-\{\frac12,1\}. Pour un tel x, elle équivaut à 3x^2-4x+1=0. Le solutions de cette dernière équation du second degré sont \frac13 et 1, mais 1 est à rejeter. Finalement : une seule solution : \frac13.

• Pour résoudre l’équation x^2-5\vert x\vert+6=0, on dispose essentiellement de deux méthodes. La première consiste à distinguer deux selon le signe de x : on est ainsi conduit à résoudre l’équation x^2+5x+6=0 dans ]-\infy,0], l’équation x^2-5x+6=0 dans [0,+\infty[ et à réunir les deux ensembles partiels de solutions. La seconde méthode consiste à changer d’inconnue en posant y=\vert x\vert. L’équation transformée y^2-5y+6=0 possède deux solutions, à savoir y_1=1 et y_2=3. On résout alors chacune des équations \vert x\vert=y_1 et \vert x\vert=y_2 et l’on réunit, là encore, les ensembles de solutions obtenus. D’une manière ou d’une autre, on voit que l’équation proposée possède quatre solutions : -3, -1, 1 et 3.

• Pour l’équation (x^2-1)^2=9, on peut factoriser et obtenir l’équation équivalente (x^2-4)(x^2+2)=0. Comme la condition x^2+2=0 n’est vérifiée pour aucun réel x, on parvient à deux solutions seulement : -2 et 2.

• L’équation 5x-7\sqrt x-12=0 n’est définie que pour x\geqslant0. En posant y=\sqrt x, l’équation transformée est 5y^2-7y-12=0, dont les solutions sont -1 et \frac{12}5. La première est exclue (car une racine carrée est positive ou nulle). En résolvant \sqrt x=\frac{12}5, on trouve l’unique solution : \frac{144}{25}

• Enfin, on traite l’équation x^6-16x^3+64=0 en posant y=x^3, ce qui nous amène à l’équation transformée (du second degré en y) : y^2-16y+64=0, dont l’unique solution est 8. On doit alors résoudre x^3=8, qui équivaut à (x-2)(x^2+2x+4)=0 et possède donc 2 pour seule solution.

Si m=1, il s’agit d’une équation du premier degré : 3x-1=0. Celle-ci possède \frac13 pour seule solution.

Si m\neq 1, l’équation proposée est du second degré et une CNS (condition nécessaire et suffisante) pour qu’elle possède une solution unique est que son discriminant \Delta=(2m+1)^2+4(m-1)=4m^2+8m-3 soit nul. Cette dernière condition est, à son tour, une équation du second degré (l’inconnue étant cette fois m) dont les solutions sont m_1=-1-\frac{\sqrt7}{2} et m2=-1+\frac{\sqrt7}{2}. Finalement :

    \[ \textrm{l'équation possède une solution unique}\Leftrightarrow m\in\{1,m_1,m_2\} \]

Posons \Delta=b^2-4ac. Par hypothèse : \Delta>0. On sait que les solutions \alpha et \beta vérifient :

    \[ \alpha+\beta=-\frac{b}{a}\qquad\textrm{et}\qquad\alpha\beta=\frac ca \]

Il en résulte que :

    \[ \vert\alpha-\beta\vert=\sqrt{(\alpha-\beta)^2}=\sqrt{(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta}=\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} \]

soit finalement

    \[ \boxed{\vert\alpha-\beta\vert=\frac{\sqrt\Delta}{2\vert a\vert}} \]

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