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Pour consulter l’énoncé, c’est ici


 

Partons de la relation F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}. En élevant chaque membre au carré puis en isolant le double-produit, on obtient :

    \[ F_{n+2}^{2}-F_{n+1}^{2}-F_{n}^{2}=2F_{n+1}F_{n}\qquad\left(\star\right) \]

En remplaçant n par n+1, ceci devient :

    \[ F_{n+3}^{2}-F_{n+2}^{2}-F_{n+1}^{2}=2F_{n+2}F_{n+1} \]

Or, on sait que F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n} et donc :

    \[ F_{n+3}^{2}-F_{n+2}^{2}-F_{n+1}^{2}=2\left(F_{n+1}+F_{n}\right)F_{n+1} \]

c’est-à-dire :

    \[ F_{n+3}^{2}-F_{n+2}^{2}-3F_{n+1}^{2}=2F_{n+1}F_{n} \]

On reconnaît le membre de droite de \left(\star\right) et par conséquent :

    \[ F_{n+3}^{2}-F_{n+2}^{2}-3F_{n+1}^{2}=F_{n+2}^{2}-F_{n+1}^{2}-F_{n}^{2} \]

Finalement, en notant C_{n} pour F_{n}^{2}, on a prouvé que :

    \[ \boxed{\forall n\in\mathbb{N},\thinspace C_{n+3}=2C_{n+2}+2C_{n+1}-C_{n}}\qquad\left(\diamondsuit\right) \]

Compte tenu des “conditions initiales” :

    \[ C_{0}=0,\qquad C_{1}=1,\qquad C_{2}=1 \]

et de la relation \left(\diamondsuit\right) il est facile d’obtenir les valeurs des termes suivants :

    \[ C_{3}=4,\qquad C_{4}=9,\qquad C_{5}=25,\qquad C_{6}=64,\qquad C_{7}=169,\qquad C_{8}=441,\qquad\text{etc ...} \]


Passons au deuxième point.

On sait (formule de Jacques Binet) que :

    \[ \boxed{\forall n\in\mathbb{N},\quad F_{n}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\alpha^{n}-\beta^{n}\right)} \]

où l’on a posé :

    \[ \alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\qquad\text{et}\qquad\beta=\frac{1-\sqrt{5}}{2} \]

Comme \alpha>1 tandis que \left|\beta\right|<1, il en résulte notamment que :

    \[ F_{n}\sim\frac{\alpha^{n}}{\sqrt{5}} \]

et donc que :

    \[ C_{n}\sim\frac{\alpha^{2n}}{5} \]

Ceci permet de voir que le rayon de convergence de la série entière {\displaystyle \sum_{n\geqslant0}C_{n}x^{n}} est :

    \[ \boxed{R=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{C_{n}}{C_{n+1}}=\frac{1}{\alpha^{2}}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\simeq0,382} \]

Notons f sa somme :

    \[ \forall x\in\left]-R,R\right[,\:f\left(x\right)=\sum_{n=0}^{\infty}C_{n}x^{n} \]

Pour tout x\in\left]-R,R\right[, la sommation des égalités :

    \[ C_{n+3}x^{n+3}-2xC_{n+2}x^{n+2}-2x^{2}C_{n+1}x^{n+1}+x^{3}C_{n}x^{n}=0 \]

(qui sont valables pour tout n\in\mathbb{N}) conduit à :

    \[ \left(f\left(x\right)-x-x^{2}\right)-2x\left(f\left(x\right)-x\right)-2x^{2}f\left(x\right)+x^{3}f\left(x\right)=0 \]

c’est-à-dire

    \[ \left(x^{3}-2x^{2}-2x+1\right)f\left(x\right)=x-x^{2} \]

Le polynôme Q défini par Q\left(x\right)=x^{3}-2x^{2}-2x+1 se factorise comme suit (voir éventuellement cet article pour réviser les techniques de base de factorisation) :

    \[ Q\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(x^{2}-3x+1\right)=\left(x+1\right)\left(x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)\left(x-\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right) \]

Parmi ses trois racines, celle de plus petite valeur absolue est \frac{3-\sqrt{5}}{2}=R.

Ainsi Q\left(x\right) ne s’annule pas pour x\in\left]-R,R\right[ et l’on obtient finalement :

    \[ \boxed{\forall x\in\left]-R,R\right[,\quad\sum_{n=0}^{\infty}C_{n}x^{n}=\frac{x-x^{2}}{x^{3}-2x^{2}-2x+1}}\qquad\left(\heartsuit\right) \]

C’est ce qu’on appelle la série génératrice de la suite \left(C_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}. Avec un logiciel de calcul formel, il est facile d’obtenir les premiers termes du développement de la fraction rationnelle qui apparaît au membre de droite de \left(\heartsuit\right).

Voici typiquement ce qu’on obtient (ici dans la syntaxe de Maple) :

taylor ((x-x^2)/(x^3-2*x^2-2*x+1), x=0, 9);

x + x^2 + 4 x^3 + 9 x^4 + 25 x^5 + 64 x^6 + 169 x^7 + 441 x^8 + O(x^9)

Les coefficients des monômes 1, x, x^{2}, etc … x^{8} sont bien les carrés des 9 premiers nombres de Fibonacci.


 

Merci de me faire part de vos questions ou remarques éventuelles, soit en commentaires soit en passant par le formulaire de contact.

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