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Les repunits sont les nombres de la forme :

    \[u_{n}=\frac{10^{n}-1}{9}\qquad\text{avec }n\in\mathbb{N}^{\star}\]


Les polynômes cherchés sont les P\in\mathbb{R}\left[X\right] vérifiant :

    \[\boxed{\forall n\in\mathbb{N}^{\star},\thinspace\exists m\in\mathbb{N}^{\star};\thinspace P\left(\frac{10^{n}-1}{9}\right)=\frac{10^{m}-1}{9}\qquad\left(\heartsuit\right)}\]


Considérons un polynôme P vérifiant \left(\heartsuit\right).

Le polynôme Q défini par :

    \[Q\left(X\right)=9\thinspace P\left(\frac{X-1}{9}\right)+1\]


vérifie :

    \[\forall n\in\mathbb{N}^{\star},\thinspace\exists m\in\mathbb{N}^{\star};\thinspace Q\left(10^{n}\right)=10^{m}\qquad\left(\clubsuit\right)\]


Manifestement, Q n’est pas le polynôme nul.

Notons d son degré et a son coefficient dominant (d\in\mathbb{N} et a\in\mathbb{R}^{\star}).

On sait que :

    \[\lim_{t\rightarrow+\infty}\frac{Q\left(t\right)}{t^{d}}=a\]


En particulier, la suite {\displaystyle \left(\frac{Q\left(10^{n}\right)}{10^{nd}}\right)_{n\geqslant1}} converge vers a. Mais d’après \left(\clubsuit\right), cette suite est à termes dans l’ensemble D=\left\{ 10^{k};\thinspace k\in\mathbb{Z}\right\} .

Il s’ensuit que a\in\overline{D}=D\cup\left\{ 0\right\} . Et comme a\neq0, il existe h\in\mathbb{Z} tel que a=10^{h}. En outre, 0 étant le seul point d’accumulation de D, la suite {\displaystyle \left(\frac{Q\left(10^{n}\right)}{10^{nd}}\right)_{n\geqslant1}} est stationnaire : il existe n_{0}\in\mathbb{N}^{\star} tel que

    \[\forall n\geqslant n_{0},\thinspace\frac{Q\left(10^{n}\right)}{10^{nd}}=10^{h}\]


Mais alors le polynôme Q\left(X\right)-10^{h}X^{d} possède une infinité de racines (les 10^{n} pour tout entier n\geqslant n_{0}) et c’est donc le polynôme nul.

Comme :

    \[P\left(X\right)=\frac{1}{9}\left[Q\left(9X+1\right)-1\right]\]

on conclut que P est nécessairement de la forme suivante :

    \[P\left(X\right)=\frac{1}{9}\left[10^{h}\left(9X+1\right)^{d}-1\right]\]


avec h\in\mathbb{Z} et d\in\mathbb{N}.

Réciproquement, si P est de cette forme, la condition \left(\heartsuit\right) est-elle bien remplie ? Il faut que l’on ait :

    \[\forall n\in\mathbb{N}^{\star},\:\frac{10^{nd+h}-1}{9}\in\mathcal{R}\]


(où \mathcal{R} désigne l’ensemble des repunits) c’est-à-dire

    \[\forall n\in\mathbb{N}^{\star},\thinspace nd+h\geqslant1\]


ou encore :

    \[h\geqslant1-d\]

En conclusion, les polynômes à coefficients réels laissant stable l’ensemble des repunits sont les :

    \[ P\left(X\right)=\frac{1}{9}\left[10^{h}\left(9X+1\right)^{d}-1\right]\]

avec d,n entiers tels que d\geqslant0 et h\geqslant1-d.

Pour d=0 et h\geqslant1, cette formule donne les polynômes constants solutions (la constante étant évidemment un repunit).

Quelques autres polynômes solutions sont :

    \[X,\,10X+1,\,100X+11,\,1000X+111\qquad\text{pour d=1 et h=0,1,2,3}\]


    \[9000X^2+2000X+111\qquad\text{pour d=2 et h=3}\]


    \[\frac{729}{100}X^4+\frac{81}{25}X^3+\frac{27}{50}X^2+\frac{1}{25}X-\frac{11}{100}\qquad\text{pour d=4 et h=-2}\]

Tous ces polynômes sont à coefficients rationnels. Et ceux d’entre-eux qui sont à coefficients entiers correspondent à h=0.


Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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