Solution pour le challenge n° 21

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Si p,q\in\mathbb{N} sont tels que p\leqslant q, alors

    \[\left(2p+1\right)\left(2q+1\right)=\sum_{i=-p}^{p}\left(2q+2i+1\right)\]

En effet, cette somme peut s’écrire A+B avec

    \[A=\sum_{i=-p}^{p}\left(2q+1\right)\qquad\text{et}\qquad B=\sum_{i=-p}^{p}2i\]


or, d’une part, A=\left(2p+1\right)\left(2q+1\right) car c’est la somme de 2p+1 termes tous égaux à 2q+1 et, d’autre part, B=0 comme on le voit en isolant le terme nul et en regroupant chacun des autres avec son opposé.

Ceci prouve l’existence d’une telle écriture.

Il n’y a pas unicité, comme on le voit avec l’exemple suivant :

    \begin{eqnarray*}45 & = & 13+15+17\\& = & 5+7+9+11+13\end{eqnarray*}

Maintenant, si M\leqslant N sont deux nombres premiers impairs, l’écriture est unique. En effet, la relation :

    \[MN=\sum_{i=m}^{n}\left(2i-1\right)\]


s’écrit :

    \[n^{2}-\left(m-1\right)^{2}=MN\]


ou encore :

    \[\left(n-m+1\right)\left(n+m-1\right)=MN\]


ce qui impose (les entiers M et N étant premiers et le plus petit étant M) :

    \[\left(\star\right)\left\{ \begin{array}{ccc}n-m+1 & = & 1\\\\n+m-1 & = & MN\end{array}\right.\qquad\text{ou}\qquad\left(\star\star\right)\left\{ \begin{array}{ccc}n-m+1 & = & M\\\\n+m-1 & = & N\end{array}\right.\]


mais le cas \left(\star\right) est exclu puisqu’il entraînerait m=n et donc MN=1, ce qui est absurde. La seule possibilité est donc donnée par \left(\star\star\right), qui entraîne :

    \[\left\{ \begin{array}{ccc}m & = & \frac{N-M+2}{2}\\\\n & = & \frac{N+M}{2}\end{array}\right.\]


L’unicité de l’écriture de MN comme somme d’entiers impairs consécutifs est établie.

Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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