
Nous allons raisonner par l’absurde. Supposons l’existence d’un nombre rationnel vérifiant :
et posons :
Le numérateur et le dénominateur peuvent être supposés tous deux positifs, puisque la fonction cosinus est paire.
D’après la formule de Moivre :
et d’après celle du binôme :
Donc, en passant aux parties réelles :
et, compte tenu de l’hypothèse
Après simplification, il reste :
Ceci entraîne en particulier que :
Pourtant, vu que il vient pour tout
:
et donc (somme de congruences modulo un même entier) :
Or :
ce qui est contradictoire.
Remarque
Dans l’égalité on s’est servi du fait que pour tout entier
:
Ce résultat classique peut être établi en observant que, si l’on note :
alors :
et
d’où la formule encadrée, en ajoutant membre à membre les égalités
Pour consulter l’énoncé, c’est ici
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