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L’une des deux clefs de ce qui suit est la célèbre identité remarquable :

    \[a^{n}-b^{n}=\left(a-b\right)\sum_{k=0}^{n-1}a^{k}b^{n-1-k}\qquad\left(\star\right)}\]


dans laquelle n est un entier naturel supérieur ou égal à 2 et a,b deux réels.

Dans le cas particulier où a,b sont entiers, cette formule nous montre que a-b est un diviseur de a^{n}-b^{n}.

Cela dit, on peut écrire, pour tout a\in\mathbb{N} :

    \[a^{561}-a=a\left(a^{560}-1\right)\]


et l’on va maintenant utiliser \left(\star\right) de plusieurs manières.

Tout d’abord, 560=2\times280 et donc :

    \[a^{560}-1=\left(a^{2}\right)^{280}-1\]

ce qui prouve que a^{2}-1\mid a^{560}-1 et donc :

    \[a^{3}-a\mid a^{561}-a\qquad\left(1\right)\]

Ensuite, 560=10\times56 et donc :

    \[a^{560}-1=\left(a^{10}\right)^{56}-1\]

ce qui prouve que a^{10}-1\mid a^{560}-1 et donc :

    \[a^{11}-a\mid a^{561}-a\qquad\left(2\right)\]

Enfin, 560=16\times35 et donc :

    \[a^{560}-1=\left(a^{16}\right)^{35}-1\]

ce qui prouve que a^{16}-1\mid a^{560}-1 et donc :

    \[a^{17}-a\mid a^{561}-a\qquad\left(3\right)\]

On applique maintenant, trois fois de suite, le petit théorème de Fermat :

Comme 3 est premier, alors 3\mid a^{3}-a et donc d’après \left(1\right) :

    \[3\mid a^{561}-a\qquad\left(1'\right)\]

Comme 11 est premier, alors 11\mid a^{11}-a et donc d’après \left(2\right) :

    \[11\mid a^{561}-a\qquad\left(2'\right)\]

Comme 17 est premier, alors 17\mid a^{17}-a et donc d’après \left(3\right) :

    \[17\mid a^{561}-a\qquad\left(3'\right)\]

Pour finir, les entiers 3, 11 et 17 sont deux à deux premiers entre eux.

Il résulte donc de (1′), (2′) et (3′) que :

561=3\times11\times17\mid a^{561}-a


Petite note “culturelle” …

Les entiers q composés (c’est-à-dire non premiers), plus grands que 1 et qui vérifient n^q\equiv n\pmod q pour tout n\in\mathbb{N} s’appellent les nombres de Carmichaël, en l’honneur du mathématicien nord-américain R. D. Carmichael (1879 – 1967) qui s’est penché sur ces êtres étranges.

En 1994, W.R. Alford, A. Granville et C. Pomerance prouvèrent l’existence d’une infinité de nombres de Carmichaël. Plus précisément, ils démontrèrent qu’en notant f(n) le nombre de nombres de Carmichaël inférieurs ou égaux à n, il existe un entier n_0 pour lequel f(n)\geqslant n^{2/7} pour tout n\geqslant n_0.


Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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