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Pour consulter l’énoncé, c’est ici.


 

La seule hypothèse est que les écarts \vert u_{k+1}-u_{k}\vert sont majorés par 1.

Il est donc crucial de les faire apparaître si l’on veut établir la majoration demandée.

Pour cela, on va effectuer une sorte “d’intégration par parties discrète” (une transformation d’Abel, pour les intimes) :

    \[ \sum_{k=1}^{n+1}u_{k}=\sum_{k=1}^{n+1}\left[k-\left(k-1\right)\right]u_{k}=\sum_{k=1}^{n+1}ku_{k}-\sum_{k=0}^{n}ku_{k+1} \]

et donc (le terme d’indice k=0 dans la dernière somme étant nul) :

    \[ \left(n+1\right)u_{n+1}-\sum_{k=1}^{n+1}u_{k}=\sum_{k=1}^{n}k\left(u_{k+1}-u_{k}\right) \]

On divise alors chaque membre par n\left(n+1\right), ce qui donne :

    \[ \frac{u_{n+1}}{n}-\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\sum_{k=1}^{n+1}u_{k}=\frac{1}{n\left(n+1\right)}\sum_{k=1}^{n}k\left(u_{k+1}-u_{k}\right) \]

c’est-à-dire :

    \[ \boxed{X_{n+1}-X_{n}=\frac{1}{n\left(n+1\right)}\sum_{k=1}^{n}k\left(u_{k+1}-u_{k}\right)} \]

On applique maintenant l’inégalité triangulaire :

    \[ \left|X_{n+1}-X_{n}\right|\leqslant\frac{1}{n\left(n+1\right)}\sum_{k=1}^{n}k\left|u_{k+1}-u_{k}\right|\leqslant\frac{1}{n\left(n+1\right)}\sum_{k=1}^{n}k \]

et comme {\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k=\frac{n\left(n+1\right)}{2},} on conclut que :

    \[ \boxed{\left|X_{n+1}-X_{n}\right|\leqslant\frac{1}{2}} \]

En outre, cette majoration est optimale puisque si u_{n}=n pour tout n\geqslant1, alors l’hypothèse est bien vérifiée et, pour tout n\geqslant1 :

    \[ X_{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n+1}{2} \]

d’où :

    \[ X_{n+1}-X_{n}=\frac{n+2}{2}-\frac{n+1}{2}=\frac{1}{2} \]

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