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La seule hypothèse concerne les écarts \vert u_{k+1}-u_{k}\vert, qui sont tous majorés par 1.

Il est donc crucial de les faire apparaître afin d’établir la majoration demandée.

Pour cela, on effectue une sorte “d’intégration par parties discrète” (ou, dans une terminologie plus officielle, une transformation d’Abel) :

    \begin{eqnarray*}\sum_{k=1}^{n+1}u_{k} & = & \sum_{k=1}^{n+1}\left[k-\left(k-1\right)\right]u_{k}\\& = & \sum_{k=1}^{n+1}ku_{k}-\sum_{k=0}^{n}ku_{k+1}\end{eqnarray*}


et donc (le terme d’indice k=0 dans la dernière somme étant nul) :

    \[\left(n+1\right)u_{n+1}-\sum_{k=1}^{n+1}u_{k}=\sum_{k=1}^{n}k\left(u_{k+1}-u_{k}\right)\]


On divise alors chaque membre par n\left(n+1\right), ce qui donne :

    \[\frac{u_{n+1}}{n}-\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\sum_{k=1}^{n+1}u_{k}=\frac{1}{n\left(n+1\right)}\sum_{k=1}^{n}k\left(u_{k+1}-u_{k}\right)\]


c’est-à-dire :

    \[\boxed{X_{n+1}-X_{n}=\frac{1}{n\left(n+1\right)}\sum_{k=1}^{n}k\left(u_{k+1}-u_{k}\right)}\]


On applique maintenant l’inégalité triangulaire :

    \begin{eqnarray*}\left|X_{n+1}-X_{n}\right| & \leqslant & \frac{1}{n\left(n+1\right)}\sum_{k=1}^{n}k\left|u_{k+1}-u_{k}\right|\\& \leqslant & \frac{1}{n\left(n+1\right)}\sum_{k=1}^{n}k\end{eqnarray*}


et comme {\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k=\frac{n\left(n+1\right)}{2},} on conclut que :

    \[\boxed{\left|X_{n+1}-X_{n}\right|\leqslant\frac{1}{2}}\]

En outre, cette majoration est optimale puisque si u_{n}=n pour tout n\geqslant1, alors l’hypothèse est bien vérifiée et, pour tout n\geqslant1 :

    \[X_{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n+1}{2}\]


d’où :

    \[X_{n+1}-X_{n}=\frac{n+2}{2}-\frac{n+1}{2}=\frac{1}{2}\]


Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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